オイラー

2024/5/8(水)
 
オイラー
 
問題
|e^iπ| = |i^eπ| = |π^ie| = 1 を示す
 
■ 前提
▼ オイラーの公式(Euler's formula)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/10/4.html
三角関数 (4回目)
より
 
e^iθ = cosθ + isinθ
 
▼ オイラーの等式(Euler's identity)
e^iθ = cosθ + isinθ より
e^iπ = cosπ + isinπ = -1
e^iπ + 1 = 0
 
▼ 記号
Z:整数　の集合
C:複素数の集合
 
▼ 複素数の大きさと偏角
z = a + bi (z ∈ C)
z(_) = a - bi (zの共役:虚部の符号を逆にしたもの)
大きさ
|z| = √(zz(_)) = √{(a + bi)(a - bi)} = √(a² + b²)
偏角
arg z = tan^-1(b/a)
 
より
e^iθ = cosθ + isinθ
大きさ
|e^iθ| = |cosθ + isinθ| = √(cos²θ + sin²θ) = 1
|e^iθ| = 1
偏角
arg z = tan^-1(sinθ/cosθ) = tan^-1(tanθ) = θ
arg z = θ
 
 
■ 解答
▼ |e^iπ|を求める
偏角 θ = π と置くと
大きさ
|e^iπ| = |e^iθ| = 1
 
▼ |i^eπ|を求める
x = π/2 + 2kπ = π(2k + 1/2) (k ∈ Z) と置くと
e^ix = cosx + isinx = 0 + i = i
i = e^ix = exp(ix)
i^eπ = exp(ix)^eπ = exp(ixeπ)
= exp{iπ(2k + 1/2)eπ}
= exp{ieπ²(2k + 1/2)}
 
偏角 θ = eπ²(2k + 1/2) と置くと
i^eπ = exp{ieπ²(2k + 1/2)} = e^iθ 
大きさ
|i^eπ| = |e^iθ| = 1
 
▼ |π^ie|を求める
log_eπ = lnπ = x
π = e^x = e^lnπ より
π^ie = (e^lnπ)^ie = e^ielnπ 
 
偏角 θ = elnπ と置くと
π^ie = e^iθ 
大きさ
|π^ie| = |e^iθ| = 1