解析力学 (6回目)

2024/6/1(土)
解析力学 (6回目)
 
解析力学
(Analytical mechanics)
 
ラグランジアン密度ℒと
オイラー･ラグランジュ方程式
[連続体(場)の方程式]
 
■ 定義
▼ ラグランジアン
L(x_j, x(･)_j) = T(x(･)_j) - V(x_j)  … (L = T – V)
p_j = ∂L/∂x(･)_j  … 一般化された運動量
 
▼ オイラー･ラグランジュ方程式
(∂L/∂x_j) - (d/dt)(∂L/∂x(･)_j) = 0
 
▼ 一般化された力と一般化された運動量
F_j = (∂L/∂x_j)
p_j = (∂L/∂x(･)_j)
 
▼ 紐(質点とばねで表す)
S :紐の張力(N)
J :紐の長さ(m)
M :紐の質量(kg)
σ:紐の線密度(kg/m)
x :位置(m)
s :変位(m)(自然長からのx方向のずれ)
t :時間(s)
F :力(N)
V :ポテンシャルエネルギー(J)
k :ばね定数(N/m)
T :運動エネルギー(J)
m :質点の質量(kg)
ℓ :ばねの長さ(m)
N :質点の数
 
■ 導出
▼ N個の質量mの質点がばねでつながっているとき
s_i  … 質点の(ばねの)自然長からの変位
 
s₀ = s_N+1 = 0 (固定両端の変異は0)
 
m/ℓ = σ … (線密度)
kℓ = S … (張力)
 
T = Σ[i=0～N](1/2)ms(・)_i² 
V = Σ[i=0～N](1/2)k(s_i+1 - s_i)² 
 
ラグランジアンL
(運動エネルギー - ポテンシャルエネルギー)は
L = T – V
= (1/2)Σ[i=0～N]{ms(・)_i² - k(s_i+1 - s_i)²}
= (1/2)Σ[i=0～N]{ms(・)_i²/ℓ - k(s_i+1 - s_i)²/ℓ}ℓ
= (1/2)Σ[i=0～N][(m/ℓ)s(・)_i² - kℓ{(s_i+1 - s_i)/ℓ}²}ℓ
= (1/2)Σ[i=0～N][σs(・)_i² - S{(s_i+1 - s_i)/ℓ}²}ℓ
 
▼ 1本の紐に置き換える
N → ∞, ℓ → 0とすると
 
s = s(x, t)と置いて
s(・)_i → ∂s/∂t
 
s_i+1 - s_i → s(x + dx, t) - s(x, t)
(s_i+1 - s_i)/ℓ → {s(x + dx, t) - s(x, t)} / dx
(s_i+1 - s_i)/ℓ → ∂s/∂x
 
M = ∫₀^J σ dx  … (J:紐の長さ)
 
より
 
L = K - V
= (1/2)Σ[i=0～N][σs(・)_i² - S{(s_i+1 - s_i)/ℓ}²}ℓ
 
→ (1/2)∫₀^J {σ(∂s/∂t)² - S(∂s/∂x)²} dx
= ∫₀^J {(σ/2)(∂s/∂t)² – (S/2)(∂s/∂x)²} dx
 
この積分の中身を
ラグランジアン密度ℒと定義する
L = ∫₀^J ℒ dx
ℒ = (σ/2)(∂s/∂t)² - (S/2)(∂s/∂x)² 
ℒ = ℒ(s, s', s(・))
 
 
▼ 運動量密度πと力密度η
p_i = (∂L/∂s(・)_j)
= (∂/∂s(・)_j)Σ[i=1～N](1/2)ms(・)_i² - 0
= ms(・)_i 
 
M = ∫₀^J σ dx = mN = ∫₀^J m dx
p = ∫₀^J ms(・) dx = ∫₀^J σ(∂s/∂t) dx  
π(x, t) = σ(∂s/∂t)
 
F_i = (∂L/∂s_j)
= 0 - (∂L/∂s_j)Σ[i=1～N](1/2)k(s_i - s_i+1)² 
= k(s_i - s_i+1) - k(s_i-1 - s_i)
 
S = kℓ ≒ kdx
F = ∫₀^J kdx(1/dx){ (s(x, t) - s(x+dx, t))/dx
- k(s(x-dx, t) - s(x, t))/dx } dx
F = ∫₀^J S(∂²s/∂x²) dx
η(x, t) = S(∂²s/∂x²)
 
(d/dt)p = (d/dt)mv = ma = Fより
(d/dt)π(x, t) = η(x, t)
より
σ(∂²s/∂t²) = T(∂²s/∂x²)
 
 
▼ オイラー･ラグランジュ方程式の変形
(d/dt)(∂L_i/∂s(･)_i) - (∂L/∂s_i) = 0  (i=1～N)
L → L + δL、s → s + δs、s(･) → s(･) + δs(･)
と置き換えても(δI = 0のため)上式は成り立つ
よって
(d/dt)(δL_i/δs(･)) - (δL/δs) = 0 [s(･) = (∂s/∂t)]
が成り立つ
 
 
■ 結果
L(s, s(・)) = T(s(・)) - V(s)  … (L = T - V)
L = ∫_A^B ℒ dx
ℒ = (σ/2)(∂s/∂t)² - (S/2)(∂s/∂x)² 
ℒ = ℒ(s, s', s(・))
π(x, t) = σ(∂s/∂t)
η(x, t) = T(∂²s/∂x²)
(d/dt)π(x, t) = η(x, t)
σ(∂²s/∂t²) = T(∂²s/∂x²)
(d/dt)(δL_i/δs(・)) - (δL/δs) = 0