懸垂線 (5回目)

2024/8/1(木)
懸垂線 (5回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
(紐の左端を原点とする)
(x₀,Hを求める)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
y₁:紐の右端のy座標
x₀:紐の底のx座標
 
▼ 懸垂線f(x)
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₀) - cosh(λx₁-λx₀)} + y₁ 
 
▼ 関係式
y'(x) = sinh(λx-λx₀)
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
 
■ 導出
▼ 前提
https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/06/5.html
三角関数 (5回目)
 
▼ 公式
cosh(a)+1 = 2cosh²(a/2)
sinh(a) = 2sinh(a/2)cosh(a/2)
{cosh(a)+1}/sinh(a) = tanh(a/2)
cosh²(a) - sinh²(a) = 1
 
cosh(a) = cosh²(a/2) + sinh²(a/2)
= 1 + sinh²(a/2) + sinh²(a/2)
cosh(a)-1 = 2sinh²(a/2)
 
tanh(a-b)
= {sinh(a)cosh(b)-cosh(a)sinh(b)}
/ {cosh(a)cosh(b)-sinh(a)sinh(b)}
= {tanh(a) - tanh(b)}
/ {1 - tanh(a)tanh(b)}
 
{cosh(b-a) - cosh(a)}/{sinh(b-a) + sinh(a)}
= {cosh(b)cosh(a)-sinh(b)sinh(a)-cosh(a)}
/ {sinh(b)cosh(a)-cosh(b)sinh(a)+sinh(a)}
= {{cosh(b)-1}cosh(a)-sinh(b)sinh(a)}
/ {sinh(b)cosh(a)-{cosh(b)-1}sinh(a)}
= {2sinh²(b/2)cosh(a)-2sinh(b/2)cosh(b/2)sinh(a)}
/ {2sinh(b/2)cosh(b/2)cosh(a)-2sinh²(b/2)sinh(a)}
= [2sinh(b/2){sinh(b/2)cosh(a)-cosh(b/2)sinh(a)}]
/ [2sinh(b/2){cosh(b/2)cosh(a)-sinh(b/2)sinh(a)}]
= {sinh(b/2)cosh(a)-cosh(b/2)sinh(a)}
/ {cosh(b/2)cosh(a)-sinh(b/2)sinh(a)}
= {tanh(b/2) - tanh(a)}
/ {1 - tanh(b/2)tanh(a)}
= {tanh(b/2) - tanh(a)}
/ {1 - tanh(b/2)tanh(a)}
= tanh(b/2 – a)
 
sinh(t) = {exp(t)-exp(-t)}/2
cosh(t) = {exp(t)+exp(-t)}/2
tanh(t) = sinh(t)/cosh(t)
x = tanh(t)と置くと
x = {exp(t)-exp(-t)}/{exp(t)+exp(-t)}
xexp(t)+xexp(-t) = exp(t)-exp(-t)
xexp(t)-exp(t) = -exp(-t)-xexp(-t)
(x-1)exp(t) = -(x+1)exp(-t)
exp²(t) = -(x+1)/(x-1)
exp(2t) = (1+x)/(1-x)
t = log{(1+x)/(1-x)}/2
tanh^-1(x) = log{(1+x)/(1-x)}/2
 
sinh(a+b) + sinh(a-b)
= {sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)}
- {sinh(a)cosh(b)-cosh(a)sinh(b)}
= sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)
- sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)
= 2cosh(a)sinh(b)
sinh(a+b) + sinh(a-b) = 2cosh(a)sinh(b)
 
▼ y₁/Lについての式
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
ここでL > 0なのでy₁/Lを求めてみる
 
y₁/L
= [(1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}]
/ [(1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}]
= {cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}]
/ {sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}]
= tanh(λx₁/2 - λx₀)
 
λx₁/2 - λx₀ = tanh^-1(y₁/L)
= log{{1+(y₁/L)}/{1-(y₁/L)}}/2
λx₁ - 2λx₀ = log{{1+(y₁/L)}/{1-(y₁/L)}}
 
ここで
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
と置いて
λx₁ - 2λx₀ = β
 
▼ x₀ を求める
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
λx₁ - 2λx₀ = β
より
λx₀ = (λx₁-β)/2
x₀ = (1/2)(x₁-β/λ)
 
▼ Lについての式
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
λx₁/2 - λx₀ = β/2
λx₀ = (λx₁-β)/2
 
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
λL = sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)
= sinh(λx₁-(λx₁-β)/2) + sinh((λx₁-β)/2)
= sinh((λx₁+β)/2) + sinh((λx₁-β)/2)
= sinh(λx₁/2)cosh(β/2)+cosh(λx₁/2)sinh(β/2)
+ sinh(λx₁/2)cosh(β/2)-cosh(λx₁/2)sinh(β/2)
= 2cosh(β/2)sinh(λx₁/2)
2cosh(β/2)sinh(λx₁/2) - λL = 0
(2/L)cosh(β/2)sinh(λx₁/2) - λ = 0
 
γ = (1/L)cosh(β/2)と置く
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
と置き
f(H) = 0を解く
 
▼ Hの近似式
sinh(x) = Σ[n=1,3,5,…]xⁿ/n!
= x + x³/3! + x⁵/5! + … マクローリン展開
 
λ = ρg/H
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
 
|λx₁/2| << 1の時
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
≒ 2γ{(λx₁/2) + (λx₁/2)³/6} - λ
= γx₁ρg/H + γ(x₁ρg/(2H))³/3 - ρg/H
= (γx₁ - 1)ρg/H + γ{(x₁ρg/2)³/3}/H³ = 0
(γx₁ - 1)H² + γ(x₁/2)(x₁ρg/2)²/3 = 0
H = (x₁ρg/2)√[γ(x₁/2)/{3(1 - γx₁)}]
= x₁ρg/[2√{6(1 - γx₁)/(γx₁)}]
= x₁ρg/{2√{6(1/(γx₁) - 1)}}
 
よって
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
γ = (1/L)cosh(β/2)
λ = ρg/H
|λx₁/2| << 1の時
H = x₁ρg/{2√{6(1/(γx₁) - 1)}}
 
▼ h'(H)を求める 
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
γ = (1/L)cosh(β/2)
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
λ'= -ρg/H² = -λ/H
 
f'(H) = 2γ(λ'x₁/2)cosh(λx₁/2) - λ'
= -(γλx₁/H)cosh(λx₁/2) + λ/H
= (λ/H){1 - γx₁cosh(λx₁/2)}
 
▼ ニュートン法
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
γ = (1/L)cosh(β/2)
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
f'(H) = (λ/H){1 - γx₁cosh(λx₁/2)}
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH_n = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH_n
H = H_n+1 (if |ΔH_n| < ε)
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
y₁:紐の右端のy座標
x₀:紐の底のx座標
 
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
α = y₁/L ≠ 1
β = log{(1+α)/(1-α)}
γ = (1/L)cosh(β/2)
 
▼ 懸垂線f(x)
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₀) - cosh(λx₁-λx₀)} + y₁ 
 
▼ 関係式
y'(x) = sinh(λx-λx₀)
L = (1/λ){sinh(λx₁-λx₀) + sinh(λx₀)}
y₁ = (1/λ){cosh(λx₁-λx₀) - cosh(λx₀)}
 
▼ 関係式
λx₀ = (λx₁-β)/2
x₀ = (1/2)(x₁-β/λ)
 
▼ 近似式
|λx₁/2| << 1の時
H = x₁ρg/{2√{6(1/(γx₁) - 1)}}
 
▼ ニュートン法
f(H) = 2γsinh(λx₁/2) - λ
f'(H) = (λ/H){1 - γx₁cosh(λx₁/2)}
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH_n = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH_n
H = H_n+1 (if |ΔH_n| < ε)