終端速度 (1回目)

2024/8/12(月)
終端速度 (1回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度に比例する空気抵抗のある投げ上げ
 
■ 導出
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 微分方程式
上向きを正とする
F = ma = -mg - kv
a = -g - (k/m)v = -(k/m)(v + mg/k)
 
▼ 終端速度
a = 0の時が終端速度なので
a = -(k/m)(v_∞ + mg/k) = 0
v_∞ + mg/k = 0
 
v_∞ = -mg/k  … 終端速度
λ = k/m と置くと
a = -λ(v - v_∞)
 
▼ 微分方程式を解く
v_∞ = -mg/k, λ = k/m
dv/dt = a = -λ(v - v_∞)  … ①
v(t) = Aexp(-λt) + Bv_∞  … ② と置く
 
②式を①式に代入
dv/dt = -λ(Aexp(-λt) + Bv_∞ - v_∞) … ①'
 
②を微分する
dv/dt = -λAexp(-λt)  … ②'
①' = ②'より
-λ(Aexp(-λt) + Bv_∞ - v_∞) = -λAexp(-λt)
-λ(Bv_∞ - v_∞) = 0, Bv_∞ = v_∞ , B = 1を②式に代入
v(t) = Aexp(-λt) + v_∞  … ③
 
ここで
v(0) = A + v_∞ = v₀  … v(0) = v₀ と置く
A = v₀ - v_∞ と③式より
v(t) = (v₀ - v_∞)exp(-λt) + v_∞ 
= v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
 
v(t) = v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
 
▼ 加速度
a = dv/dt
= d/dt[v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}]
= -v₀λexp(-λt) + v_∞λexp(-λt)
= -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
 
a(t) = -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
 
▼ 位置
v_∞ = -mg/k, λ = k/m
y = ∫vdt = ∫[v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}]dt
= -(v₀/λ)exp(-λt) + v_∞t + (v_∞/λ)exp(-λt) + C
= -(v₀ - v_∞)(1/λ)exp(-λt) + v_∞t + C
 
y(0) = -(v₀ - v_∞)(1/λ) + C = y₀  … y(0) = y₀ と置く
C = y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ)
 
y = -(v₀ - v_∞)(1/λ)exp(-λt) + v_∞t + y₀ + (1/λ)(v₀ - v_∞)
= y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
 
y(t) = y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
 
 
■ 結果
▼ 定数
v_∞ = -mg/k, λ = k/m
 
▼ 加速度
a(t) = -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
a(0) = -(v₀ - v_∞)λ = -(k/m)v₀ - g
a(t) = 0  (t→∞)
 
▼ 速度
v(t) = v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
v(0) = v₀ 
v(t) = v_∞  (t→∞)
 
▼ 位置
y(t) = y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
y(0) = y₀ 
y(t) = y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ) + v_∞t  (t→∞)