終端速度2 (5回目)

2024/10/12(土)
終端速度2 (5回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度の2乗に比例する空気抵抗のある自由落下
(上向きを正とする)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
y₀:初期位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
 
▼ 最高地点までの時間
t₁ = (1/λ)Tan^-1(-v₀/v_∞)
 
▼ 速度
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tan (λt)}/{v_∞ - v₀tan (λt)} (v≧0)
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)} (v≦0)
 
▼ 位置
y(t) = y₀ - (v_∞/λ)log|cos (λt) - (v₀/v_∞)sin (λt)| (v≧0)
y(t) = y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt) + (v₀/v_∞)sinh(λt)| (v≦0)
 
▼ 加速度
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² + {v(t)}²) (v≧0)
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t)}²) (v≦0)
 
 
■ 導出
▼ 降下(上向きを正とする)
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
 
初期位置y₀ = 0
初速度v₀ = 0
速度v, v_∞ ≦ 0
 
v(t) = v_∞{v₀ + v_∞tanh(λt)}/{v_∞ + v₀tanh(λt)}
= v_∞tanh(λt)
y(t) = y₀ + (v_∞/λ)log|cosh(λt) + (v₀/v_∞)sinh(λt)|
= (v_∞/λ)log|cosh(λt)|
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t)}²)
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
v_∞:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v_∞ = -√(mg/k)
 
▼ 下降中(上向きを正とし、速度v, v_∞ ≦ 0)
v(t) = v_∞tanh(λt)
y(t) = (v_∞/λ)log|cosh(λt)|
a(t) = (λ/v_∞)(v_∞² - {v(t)}²)