終端速度2 (5回目)

2024/10/12()
終端速度2 (5回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度の2乗に比例する空気抵抗のある自由落下
(上向きを正とする)
 
■ 前提
▼ 定義
g:重力加速度(m/s2)
v0:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N・s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s2)
y:位置(m)
y0:初期位置(m)
v:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v = -√(mg/k)
 
▼ 最高地点までの時間
t1 = (1/λ)Tan-1(-v0/v)
 
▼ 速度
v(t) = v{v0 + vtan (λt)}/{v - v0tan (λt)} (v≧0)
v(t) = v{v0 + vtanh(λt)}/{v + v0tanh(λt)} (v≦0)
 
▼ 位置
y(t) = y0 - (v/λ)log|cos (λt) - (v0/v)sin (λt)| (v≧0)
y(t) = y0 + (v/λ)log|cosh(λt) + (v0/v)sinh(λt)| (v≦0)
 
▼ 加速度
a(t) = (λ/v)(v2 + {v(t)}2) (v≧0)
a(t) = (λ/v)(v2 - {v(t)}2) (v≦0)
 
 
■ 導出
▼ 降下(上向きを正とする)
λ = √(gk/m), v = -√(mg/k)
 
初期位置y0 = 0
初速度v0 = 0
速度v, v ≦ 0
 
v(t) = v{v0 + vtanh(λt)}/{v + v0tanh(λt)}
= vtanh(λt)
y(t) = y0 + (v/λ)log|cosh(λt) + (v0/v)sinh(λt)|
= (v/λ)log|cosh(λt)|
a(t) = (λ/v)(v2 - {v(t)}2)
 
 
■ 結果
▼ 定義
g:重力加速度(m/s2)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N・s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
a:加速度(m/s2)
y:位置(m)
v:終端速度(m/s)
 
▼ 定義
λ = √(gk/m), v = -√(mg/k)
 
▼ 下降中(上向きを正とし、速度v, v ≦ 0)
v(t) = vtanh(λt)
y(t) = (v/λ)log|cosh(λt)|
a(t) = (λ/v)(v2 - {v(t)}2)
 

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