フーリエ変換 (1回目)

2025/2/8(土)
フーリエ変換 (1回目)
 
(fourier)
 
■ 周期Tのフーリエ級数に使う公式
▼ 結果
[クロネッカーのデルタδ_mn = 1(m＝n), 0(m≠n)]
周期T, 周波数f_n = n/T, f_m = m/T  (m, n ∈ Z)
∫₀^Tcos(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)sin(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = 0
同じ種類(sin,cos)で同じ周波数(f_n = f_m)のみT/2で
それ以外は0となるので、任意の基本波(sin,cos)の
振幅を取り出す事が出来る
 
▼ フーリエ級数に使う公式の導出
加法定理
sin(α+β) = sinαcosβ+cosαsinβ
sin(α-β) = sinαcosβ-cosαsinβ
cos(α+β) = cosαcosβ-sinαsinβ
cos(α-β) = cosαcosβ+sinαsinβ
の内の2式の和または差で以下の公式をつくる
 
∫₀^2π/acos(mat)cos(nat)dt = (1/2)∫₀^2π/a{cos((m-n)at) + cos((m+n)at)}dt
∫₀^2π/asin(mat)sin(nat)dt = (1/2)∫₀^2π/a{cos((m-n)at) - cos((m+n)at)}dt
の右辺をまとめて書いて
(1/2)∫₀^2πa{cos((m-n)at) ± cos((m+n)at)}dt
= (1/2)[{/((m-n)a)}sin((m-n)at) ± {1/((m+n)a)}sin((m+n)at)]₀^2π/a 
= 0 (m ≠ n)
(1/2)∫₀^2π/a{cos((m-n)at) ± cos((m+n)at)}dt
= (1/2)∫₀^2π/a{1 ± cos((m+n)at)}dt
(1/2)[t ± {1/((m+n)a}}sin((m+n)at)]₀^2π/a 
= π/a (m ＝ n)
 
∫₀^2π/asin(mat)cos(nat)dt = (1/2)∫₀^2π/a{sin((m-n)at) + sin((m+n)at)}dt
(1/2)∫₀^2π/a{sin((m-n)at) + sin((m+n)at)}dt
= -(1/2)[{1/((m-n)a)}cos((m-n)at) + {1/((m+n)a)}cos((m+n)at)]₀^2π/a 
= 0 (m ≠ n)
(1/2)∫₀^2π/a{sin((m-n)at) + sin((m+n)at)}dt
= -(1/2)[{1/((m+n)a)}cos((m+n)at)]₀^2π/a 
= 0 (m ＝ n)
まとめると
∫₀^2π/acos(mat)cos(nat)dt = (π/a)δ_mn 
∫₀^2π/asin(mat)sin(nat)dt = (π/a)δ_mn 
∫₀^2π/asin(mat)cos(nat)dt = 0
 
▼ 周期Tのフーリエ級数に使う公式の導出
∫₀^2π/acos(mat)cos(nat)dt = (π/a)δ_mn 
∫₀^2π/asin(mat)sin(nat)dt = (π/a)δ_mn 
∫₀^2π/asin(mat)cos(nat)dt = 0
にa = 2π/Tを代入(T = 2π/a)して
∫₀^Tcos(2πmt/T)cos(2πnt/T)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πmt/T)sin(2πnt/T)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πmt/T)cos(2πnt/T)dt = 0
さらに、周波数f_n = n/T, f_m = m/Tと置いて
∫₀^Tcos(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)sin(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = 0