フーリエ変換 (2回目)

2025/2/18(火)
フーリエ変換 (2回目)
 
(fourier)
 
■ 周期Tのフーリエ級数
▼ 結果
(周期T, 周波数f_n = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞)
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt  … cos(2πf_nt)のみの振幅を取り出す
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt  … sin(2πf_nt)のみの振幅を取り出す
 
a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)
= √(a_n² + b_n²)sin(2πf_nt + Tan^-1(a_n/b_n))
 
▼ 周期Tの波の式
波はベースラインcとsin,cosの和で表せるとすると
(周波数f_n = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞)
y(t) = c + Σ_n=1^N{ a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
c = (1/T)∫₀^Ty(t)dt  … 1周期の変位の合計がc
 
▼ cosの振幅a_n を求める
[クロネッカーのデルタδ_mn = 1(m＝n), 0(m≠n)]
周期T, 周波数f_n = n/T, f_m = m/T  (m, n ∈ Z)
∫₀^Tcos(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = 0
より
∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
はy(t)の内sin成分と,違う周波数のcosが0となるため
y(t)の内cos(2πf_nt)の成分のみ取り出せるので
結果は振幅a_n×(T/2)となり
∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt = a_n(T/2)
よって
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
 
▼ sinの振幅b_n を求める
[クロネッカーのデルタδ_mn = 1(m＝n), 0(m≠n)]
周期T, 周波数f_n = n/T, f_m = m/T  (m, n ∈ Z)
∫₀^Tsin(2πf_mt)sin(2πf_nt)dt = (T/2)δ_mn 
∫₀^Tsin(2πf_mt)cos(2πf_nt)dt = 0
より
∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt
はy(t)の内cos成分と,違う周波数のsinが0となるため
y(t)の内sin(2πf_nt)の成分のみ取り出せるので
結果は振幅b_n×(T/2)となるので
∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt = b_n(T/2)
よって
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt
 
▼ cを求める
f_n = n/Tよりf₀ = 0/T = 0
c = (1/T)∫₀^Ty(t)dtだったので
a₀ = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
= (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2π･0･t)dt = (2/T)∫₀^Ty(t)dt = 2c
より
c = a₀/2
 
▼ cos,sinの合成
x = rcosθ, y = rsinθ, θ = Tan^-1(y/x)
r = √(x² + y²)
rsin(α+θ) = rsinαcosθ+rcosαsinθ
= xsinα + ycosα = √(x² + y²)sin(α+Tan^-1(y/x))
より
a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)
= √(a_n² + b_n²)sin(2πf_nt + Tan^-1(a_n/b_n))