フーリエ変換 (3回目)

2025/2/22(土)
フーリエ変換 (3回目)

(fourier)
 
■ 周期Tの離散フーリエ級数
▼ 結果
T:サンプル計測時間(周期)
N:サンプル総数
t_k:サンプルの計測時刻(k = 0, 1, 2, …, N-1), t_k = k(T/N)
y_k:各サンプルの計測値(k = 0, 1, 2, …, N-1)
 
周波数f_n = n/T (n = 1, …, N)
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
a_n ≒ (2/N)Σ_k=0^N-1[y_kcos(2πf_nt_k)]
b_n ≒ (2/N)Σ_k=0^N-1[y_ksin(2πf_nt_k)]
 
▼ 式

∫をΣで近似する

(周期T, 周波数f_n = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞)
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt
 
a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)
= √(a_n² + b_n²)sin(2πf_nt + Tan^-1(a_n/b_n))
 
ここで
周期Tのサンプル数Nとして
 
T:サンプル計測時間(周期)
N:サンプル総数
t_k:サンプルの計測時刻(k = 0, 1, 2, …, N-1)
y_k:各サンプルの計測値(k = 0, 1, 2, …, N-1)
 
Δt = T/N
t_k = kΔt = kT/N
 
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
≒ (2/T)Σ_k=0^N-1[y_kcos(2πf_nt_k)]Δt
= (2/N)Σ_k=0^N-1[y_kcos(2πf_nt_k)]
同様に
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt
≒ (2/N)Σ_k=0^N-1[y_ksin(2πf_nt_k)]