積分

2025/2/4(火)

積分

(integral)

 
■ xⁿの積分公式の導出
▼ 積分をΣで表す 

　　　　 

　　　　 
∫₀^x f(x) dx = lim _n→∞ Σ_k=0ⁿ (x/n)f(kx/n)
　　　　 
▼ f(x) = x のとき
Σ_k=0ⁿ k = Σ_k=1ⁿ k = n(n+1)/2
 
∫₀^x x dx
= lim _n→∞ Σ_k=0ⁿ (x/n)(kx/n)
= lim _n→∞ (x²/n²)Σ_k=0ⁿ k
= lim _n→∞ (x²/n²)n(n+1)/2
= lim _n→∞ (x²n²+x²n)/(2n²)
= lim _n→∞ x²/2 + x²/(2n)
= x²/2
 
▼ f(x) = x² のとき
Σ_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6
 
∫₀^x x² dx
= lim _n→∞ Σ_k=0ⁿ (x/n)(kx/n)² 
= lim _n→∞ (x³/n³)Σ_k=0ⁿ k² 
= lim _n→∞ (x³/n³)n(n+1)(2n+1)/6
= lim _n→∞ x³(2n²+3n+1)/(6n²)
= lim _n→∞ x³/3 + x³/(2n) + x³/(6n²)
= x³/3
 
▼ f(x) = x³ のとき
(Σ_k=1ⁿ k)² = Σ_k=1ⁿ k³ 
 
∫₀^x x³ dx
= lim _n→∞ Σ_k=0ⁿ (x/n)(kx/n)³ 
= lim _n→∞ (x⁴/n⁴)Σ_k=0ⁿ k³ 
= lim _n→∞ {(x²/n²)(Σ_k=0ⁿ k)}² 
= {lim _n→∞ Σ_k=0ⁿ (x/n)(kx/n)}² 
= {∫₀^x x dx}² = (x²/2)² 
= x⁴/4
 
▼ f(x) = xⁿ のとき
∫₀^x x  dx = x²/2
∫₀^x x² dx = x³/3
∫₀^x x³ dx = x⁴/4
…
∫₀^x xⁿ dx = xⁿ⁺¹/(n+1)
 
■ Σの公式の導出
▼ Σ_k=1ⁿ k の導出
Σ_k=1ⁿ k = {(1+n)+(2+(n-1))+…+(n+1)}/2
= n(n+1)/2
= (n+1)n/2! = _n+1C₂ 
 
Σ_k=1ⁿ k = n(n+1)/2 = _n+1C₂ 
 
▼ Σ_k=1ⁿ k² の導出
(n+1)³ - 1 = Σ_k=1ⁿ {(k+1)³ - k³} = Σ_k=1ⁿ (3k² + 3k + 1)
Σ_k=1ⁿ k² 
= {(n+1)³ - 1 - 3Σ_k=1ⁿ k - Σ_k=1ⁿ 1}/3
= {2(n+1)³ - 2 - 3n(n+1) - 2n}/6
= (n+1){2(n+1)² - 3n - 2)}/6
= (n+1)(2n² + 4n + 2 - 3n - 2)/6
= n(n+1)(2n+1)/6
= n(n+1){(n+2)+(n-1)}/6
= (n+2)(n+1)n/3! + (n+1)n(n-1)}/3!
= _n+2C₃ + _n+1C₃ 
 
Σ_k=1ⁿ k² = n(n+1)(2n+1)/6 = _n+2C₃ + _n+1C₃ 
 
別解
Σ_k=1ⁿ k² = S₂(n) , Σ_k=1ⁿ k = S₁(n)と置く
次の三角形(数の計)は3つともS₂(5)を表している
      1            5              5
    2 2          4 5           5 4
   3 3 3       3 4 5        5 4 3
 4 4 4 4     2 3 4 5     5 4 3 2
5 5 5 5 5  1 2 3 4 5  5 4 3 2 1
これを三角柱状に上に重ねると
どの柱も2･5+1で柱の数はS₁(5)本あるので
3S₂(5) = S₁(5)×(2･5+1) … 5をnに置き換えて
S₂(n) = S₁(n)×(2n+1)/3 = n(n+1)(2n+1)/6
 
▼ (Σ_k=1ⁿ k)² = Σ_k=1ⁿ k³ の導出

 

13	+1	+2	+3	+4	…	+n
2(2･1+2) = 2(2+2) = 23	+2	+4	+6	+8	…	+2n
3{2(1+2)+3} = 3{(1+2)+(2+1)+3} = 33	+3	+6	+9	+12	…	+3n
4{2(1+2+3)+4} = 4{(1+3) +(2+2)+(3+1)+4} = 43	+4	+8	+12	+16	…	+4n
…	…	…	…	…	…	…
n{2(1+…+n-1)+n} = n{ (1+n-1)+…+(n-1+1)+n} = n3	+n	+2n	+3n	+4n	…	+n2