フーリエ変換 (4回目)

2025/3/1(土)
フーリエ変換 (4回目)
 
(fourier)
 
■ 複素フーリエ級数
▼ 結果
(周期T, 周波数f_n = n/T, n = 0, ±1, ±2, …, ±N → ±∞)
y(t) = Σ_n=-N^N{c_nexp(i2πf_nt)}
c_n = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
 
▼ 式
周期Tのフーリエ級数
(周期T, 周波数f_n = n/T, n = 1, 2, 3, …, N → ∞)
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πf_nt)dt
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πf_nt)dt
 
e^ix = cosx + isinx
e^-ix = cosx - isinx
cosx = (e^ix + e^-ix)/2
sinx = (e^ix - e^-ix)/(2i)
 
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
= (a₀/2) + Σ_n=1^N[a_n{exp(i2πf_nt) + exp(-i2πf_nt)}/2
+ b_n{exp(i2πf_nt) - exp(-i2πf_nt)}/(2i)]
= (a₀/2) + Σ_n=1^N[a_n{exp(i2πf_nt) + exp(-i2πf_nt)}/2
- ib_n{exp(i2πf_nt) - exp(-i2πf_nt)}/2]
= (a₀/2) + Σ_n=1^N[(a_n - ib_n)exp(i2πf_nt)/2
+ (a_n + ib_n)exp(-i2πf_nt)}/2]
= (a₀/2) + Σ_n=1^N[(a_n - ib_n)exp(i2πf_nt)/2]
+ Σ_n=-1^-N[(a_n + ib_n)exp(i2πf_nt)}/2]  … (f_-n = -f_n)
c_n = (a_n  - ib_n )/2 if n > 0
c_n = (a_-n + ib_-n)/2 if n < 0
c_n =  a₀/2         if n = 0
と置くと
(a₀/2) + Σ_n=1^N[(a_n - ib_n)exp(i2πf_nt)/2]
+ Σ_n=-1^-N[(a_n + ib_n)exp(i2πf_nt)}/2]  … (f_-n = -f_n)
= Σ_n=-N^N{c_nexp(i2πf_nt)}
 
a_n = (2/T)∫₀^Ty(t)cos(2πft)dt
b_n = (2/T)∫₀^Ty(t)sin(2πft)dt
より
c_n = (a_n  - ib_n )/2
= (1/T)∫₀^T[y(t){cos(2πf_nt) - isin(2πf_nt)}]dt
= (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
c_n = (a_-n + ib_-n)/2
= (1/T)∫₀^T[y(t){cos(-2πf_nt) + isin(-2πf_nt)}]dt
= (1/T)∫₀^T[y(t){cos(2πf_nt) - isin(-2πf_nt)}]dt
= (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
c₀ = a₀/2 = (1/T)∫₀^Ty(t)cos(2π･0･t)dt (f₀ = 0/T = 0)
= (1/T)∫₀^Ty(t)dt = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
まとめると
c_n = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
よって
y(t) = (a₀/2) + Σ_n=1^N{a_ncos(2πf_nt) + b_nsin(2πf_nt)}
= Σ_n=-N^N{c_nexp(i2πf_nt)}
c_n = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt