フーリエ変換 (5回目)

2025/3/4(火)
フーリエ変換 (5回目)
 
(fourier transform)
 
■ フーリエ変換(FT)(Fourier Transform)(周期が∞のフーリエ級数)

▼ 結果
y:変位, t:時間, A:振幅, f:周波数
y(t) = ∫_-∞^∞{A(f)e^i2πft }df
A(f) = ∫_-∞^∞{y(t)e^-i2πft}dt
 
▼ 式
複素フーリエ級数
(周期T, 周波数f_n = n/T, n = 0, ±1, ±2, …, ±N → ±∞)
y(t) = Σ_n=-N^N{c_nexp(i2πf_nt)}
c_n = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
 
周期T→∞とするので、F = 1/T (F→0)とする
周波数f = f_n = n/T = nF, T = 1/F = n/fと置いて
c_n = (1/T)∫₀^T{y(t)exp(-i2πf_nt)}dt
= F∫₀^1/F{y(t)exp(-i2πft)}dt
= F∫_-1/(2F)^1/(2F){y(t)exp(-i2πft)}dt
A(f) = ∫_-1/(2F)^1/(2F){y(t)exp(-i2πft)}dtと置く
c_n = FA(f)
 
y(t) = Σ_n=-N^N{c_nexp(i2πft)}
= Σ_n=-N^N{FA(f_n)exp(i2πft)} (F→0)は面積を表すので
= ∫_-N^N{A(f_n)exp(i2πft)}df (N→∞)
A(f) = ∫_-1/(2F)^1/(2F){y(t)exp(-i2πft)}dt (F→0)
= ∫_-∞^∞{y(t)exp(-i2πft)}dt