懸垂線(改訂版) (2回目)

2025/7/20(日)
懸垂線(改訂版) (2回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
x₀ :左端から紐の底までの水平距離[m]
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
▼ 問題
(1) y(x) を g,ρ,x₀,H,x で表せ
 
 
■ (1)yの導出1(微分方程式を求める)
▼ 定義

 

 

T(x) :紐の張力(N)
θ(x):水平方向からの張力方向への角度
ds   :x～x+dx間(点A,B間)の紐の長さ(m)
y'(x):懸垂線の傾き
 
▼ 微分方程式の導出
y = y(x)  … 紐の形のグラフ
y'(x) = dy/dx = tanθ(x)  … ①
 
水平方向
水平方向の釣合いはどのxでも水平張力Hは同じになるはずなので
H = T(x)cosθ(x) = T(x+dx)cosθ(x+dx) = const.
H = T(x)cosθ(x)  … ➁ (水平張力)
 
垂直方向
図の下向きと上向きの釣合いより
T(x)sinθ(x) + dsρg = T(x+dx)sinθ(x+dx)
に点AB間の紐の長さds = √(dx² + dy²) = dx√{1 + (dy/dx)²}
を代入して変形して
ρgdx√{1 + (dy/dx)²} = T(x+dx)sinθ(x+dx) - T(x)sinθ(x)
{T(x+dx)sinθ(x+dx)-T(x)sinθ(x)}/dx = ρg√{1 + (dy/dx)²}
より ( 一般に{f(x+dx)-f(x)}/dx = df/dx なので )
(d/dx){T(x)sinθ(x)} = ρg√{1 + (dy/dx)²}  … ③
 
T(x)sinθ(x) = T(x)cosθ(x)sinθ(x)/cosθ(x)
= T(x)cosθ(x)tanθ(x)に①,②を代入して
= H･(dy/dx)
を③に代入
(d/dx){H･(dy/dx)} = ρg√{1 + (dy/dx)²}
を変形して  … dy/dx = (d/dx)y = (d/dx)y(x)
 
(d²/dx²)y(x) = (ρg/H)√[1 + {(d/dx)y(x)}²]
 
y' = (d/dx)y(x), y" = (d²/dx²)y(x)を使って
 

λ = H/ρg と置く
y" = (1/λ)√(1 + y'²)
 
■ 結果
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
▼ 微分方程式
λ = H/(ρg) と置く
y" = (1/λ)√(1 + y'²)