懸垂線(改訂版) (3回目)

2025/7/26(土)
懸垂線(改訂版) (3回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
▼ 微分方程式
λ = H/(ρg) と置く
y" = (1/λ)√(1 + y'²)
 
▼ 問題
x₀ :紐の底のx座標[m]
 
(1) y(x) を g,ρ,x₀,H,x で表せ
 
■ (1)yの導出2(微分方程式を解く)
▼ 定義
x = log_e y = log y、y = e^x = exp(x)とする
 
▼ 積分
∫{1/√(1+x²)}dxを解く
 
x = tanθと置く
dx/dθ = (d/dθ)tanθ = (d/dθ){sinθ/cosθ}
= {(d/dθ)sinθ}/cosθ + sinθ{(d/dθ)(cosθ)^-1}
= 1 + sinθ(-sinθ)(-1/cos²θ) = (cos²θ + sin²θ)/cos²θ
= 1/cos²θ
dx = (1/cos²θ)dθ
 
1+tan²θ = (cos²θ + sin²θ)/cos²θ = 1/cos²θ
を使って
∫{1/√(1+x²)}dx
= ∫{1/√(1+tan²θ)}(1/cos²θ)dθ
= ∫{1/√(1/cos²θ)}(1/cos²θ)dθ
= ∫(cosθ/cos²θ)dθ
= ∫(1/cosθ)dθ
 
t = sinθと置く
dt/dθ = cosθ
dθ = (1/cosθ)dt
∫(1/cosθ)dθ = ∫(1/cos²θ)dt = ∫(1/(1-sin²θ)dt
= ∫{1/(1-t²)}dt
 
1/(t+1) - 1/(t-1) = 1/(1+t) + 1/(1-t)
= {(1-t)+(1+t)}/{(1+t)(1-t)} = 2/{(1+t)(1-t)}
= 2/(1-t²)より
 
∫{1/(1-t²)}dt
= (1/2)∫{1/(t+1) - 1/(t-1)}dt
= (1/2)(log|t+1| - log|t-1|) + C
= (1/2)log(|t+1|/|1-t|) + C
= (1/2)log(|sinθ+1|/|1-sinθ|) + C
= (1/2)log{(sinθ+1)²/(1²-sin²θ)} + C
= (1/2)log{(sinθ+1)²/cos²θ} + C
= log|(sinθ+1)/cosθ| + C
= log|(sinθ/cosθ + 1/cosθ| + C
= log|tanθ + √(1/cos²θ)| + C
= log|tanθ + √(1+tan²θ)| + C
= log|x + √(1+x²)| + C
よって
 
∫{1/√(1 + x²)}dx = log|x + √(1 + x²)| + C  … ①
 
▼ 双曲線関数(ハイパボリック)
cosh(x) = {exp(x) + exp(-x)}/2
sinh(x) = {exp(x) - exp(-x)}/2
と定義される
 
{cosh(x)}' = {exp(x) - exp(-x)}/2 = sinh(x)
{sinh(x)}' = {exp(x) + exp(-x)}/2 = cosh(x)
 
sinh(-x) = {exp(-x) - exp(x)}/2 = -sinh(x)
cosh(-x) = {exp(-x) + exp(x)}/2 =  cosh(x)
 
▼ 微分方程式を解く
y" = (1/λ)√(1 + y'²)
 
を変形して
(d/dx)y' = (1/λ)√(1 + y'²)
dy' / √(1 + y'²) = (1/λ)dx
 
両辺積分して
∫{1/√(1 + y'²)}dy' = (1/λ)∫dx
式①を使って
log|y' + √(1 + y'²)| = (1/λ)x + A
y' + √(1 + y'²) = exp(x/λ + A)
√(1 + y'²) = exp(x/λ + A) - y'
1 + y'² = {exp(x/λ + A) - y'}² 
= exp(x/λ + A)² - 2y'exp(x/λ + A) + y'² 
2y'exp(x/λ + A) = exp(x/λ + A)² - 1
y' = {exp(x/λ + A) - exp(-xλ - A)}/2
= sinh(x/λ + A)
 
y' = sinh(x/λ + A)  … ➁
 
式➁を積分して
y = ∫y'dx = ∫sinh(x/λ + A)dx = λcosh(x/λ + A) + B
y = λcosh(x/λ + A) + B  … ③
(式③を微分すると式➁になっている)(A,Bは積分定数)
 
▼ 積分定数の決定
紐の底は水平なので
y'(x) = sinh(x/λ + A)
y'(x₀) = sinh(x₀/λ + A) = 0
より
x₀/λ + A = 0
A = -x₀/λ
より
y(x) = λcosh(x/λ + A) + B = λcosh(x/λ - x₀/λ) + B
y'(x) = sinh(x/λ + A) = sinh(x/λ - x₀/λ)
 
紐の左端の座標より
y(x) = λcosh(x/λ - x₀/λ) + B
y(0) = λcosh(0/λ - x₀/λ) + B = 0
B = -λcosh(-x₀/λ) = -λcosh(x₀/λ)
より
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
 
 
■ 結果
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
▼ 懸垂線
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)