懸垂線(改訂版) (4回目)

2025/7/30(水)
懸垂線(改訂版) (4回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
▼ 懸垂線
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
 
▼ 問題
L  :紐の長さ[m] (√(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の右端のx座標[m]
 
(2) L を g,ρ,x₀,x₁,H で表せ
 
 
■ (2)Lの導出
▼ 定義
ds   :x～x+dx間(点A,B間)の紐の長さ(m)
  
▼ 紐の微小長さds
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
 
ds = √(dx² + dy²) = dx√{1 + (dy/dx)²} = dx√(1 + y'²)
= dx√{1 + sinh²(x/λ - x₀/λ)} = dx√cosh²(x/λ - x₀/λ)
= cosh(x/λ - x₀/λ)dx
▼ 紐の長さL
ds = cosh(x/λ - x₀/λ)dx 
を積分
L = ∫₀^x1ds = ∫₀^x1cosh(x/λ - x₀/λ)dx
= λ[ sinh(x/λ - x₀/λ) ]₀^x1 
= λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) - sinh(-x₀/λ)}
= λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}
 
■ 結果
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の右端のx座標[m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
▼ 紐の長さL
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}