懸垂線(改訂版) (5回目)

2025/8/5(火)
懸垂線(改訂版) (5回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 双曲線関数(前提)
▼ 3回目(双曲線関数)
cosh(x) = {exp(x) + exp(-x)}/2
sinh(x) = {exp(x) - exp(-x)}/2
と定義される
 
{cosh(x)}' = {exp(x) - exp(-x)}/2 = sinh(x)
{sinh(x)}' = {exp(x) + exp(-x)}/2 = cosh(x)
 
sinh(-x) = {exp(-x) - exp(x)}/2 = -sinh(x)
cosh(-x) = {exp(-x) + exp(x)}/2 =  cosh(x)
 
cosh²(x) - sinh²(x)
= {exp(x)+exp(-x)}²/4 - {exp(x)-exp(-x)}²/4
= {2exp(x)exp(-x) + 2exp(t)exp(-x)}/4 = 1
よって
cosh²(x) - sinh²(x) = 1
 
▼ 双曲線関数(その他)
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x)
= {exp(x) - exp(-x)}/{exp(x) + exp(-x)}
tanh(-x) = {exp(-x) - exp(x)}/{exp(-x) + exp(x)}
= -tanh(x)
 
■ 双曲線関数の公式導出
▼ 加法定理
sinh(a)cosh(b)
= {exp(a)-exp(-a)}{exp(b)+exp(-b)}/4
= {exp(a)exp(b)+exp(a)exp(-b)-exp(-a)exp(b)-exp(-a)exp(-b)}/4
 
sinh(a)cosh(b) + sinh(b)cosh(a)
= {exp(a)exp(b)+exp(a)exp(-b)-exp(-a)exp(b)-exp(-a)exp(-b)}/4
+ {exp(b)exp(a)+exp(b)exp(-a)-exp(-b)exp(a)-exp(-b)exp(-a)}/4
= {2exp(a)exp(b)-2exp(-a)exp(-b)}/4
= {exp(a)exp(b)-exp(-a)exp(-b)}/2
= {exp(a+b)-exp(-a-b)}/2 = sinh(a+b)
 
sinh(a+b) = sinh(a)cosh( b)+sinh( b)cosh(a)
sinh(a-b) = sinh(a)cosh(-b)+sinh(-b)cosh(a)
= sinh(a)cosh(b)-sinh(b)cosh(a)
 
sinh(2a) = 2sinh(a)cosh(a)
 
sinh(a)sinh(b)
= {exp(a)-exp(-a)}{exp(b)-exp(-b)}/4
= {exp(a)exp(b)-exp(a)exp(-b)-exp(-a)exp(b)+exp(-a)exp(-b)}/4
 
cosh(a)cosh(b)
= {exp(a)+exp(-a)}{exp(b)+exp(-b)}/4
= {exp(a)exp(b)+exp(a)exp(-b)+exp(-a)exp(b)+exp(-a)exp(-b)}/4
 
cosh(a)cosh(b)+sinh(a)sinh(b)
= {exp(a)exp(b)-exp(a)exp(-b)-exp(-a)exp(b)+exp(-a)exp(-b)}/4
+ {exp(a)exp(b)+exp(a)exp(-b)+exp(-a)exp(b)+exp(-a)exp(-b)}/4
= {2exp(a)exp(b)+2exp(-a)exp(-b)}/4
= {exp(a)exp(b)+exp(-a)exp(-b)}/2
= {exp(a+b)+exp(-a-b)}/2 = cosh(a+b)
 
cosh(a+b) = cosh(a)cosh( b)+sinh(a)sinh( b)
cosh(a-b) = cosh(a)cosh(-b)+sinh(a)sinh(-b)
= cosh(a)cosh(b)-sinh(a)sinh(b)
 
cosh(2a) = cosh²(a)+sinh²(a)
 
tanh(a+b)
= {sinh(a)cosh(b)+cosh(a)sinh(b)}
/ {cosh(a)cosh(b)+sinh(a)sinh(b)}
= {tanh(a)+tanh(b)} / {1+tanh(a)tanh(b)}
tanh(a-b) = {tanh(a)+tanh(-b)} / {1+tanh(a)tanh(-b)}
= {tanh(a)-tanh(b)} / {1-tanh(a)tanh(b)}
 
▼ 逆双曲線関数
y = exp(x) ⇔ log(y) = x
 
tanh^-1(y)をlogで表す
y = tanh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}
yexp(x)+yexp(-x) = exp(x)-exp(-x)
yexp(x)-exp(x) = -exp(-x)-yexp(-x)
(y-1)exp(x) = -(y+1)exp(-x)
exp(2x) = -(y+1)/(y-1) = (1+y)/(1-y)
x = log{(1+y)/(1-y)}/2
tanh^-1(y) = log{(1+y)/(1-y)}/2
 
sinh^-1(y)をlogで表す
y = sinh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/2
2y = exp(x)-exp(-x)
2yexp(x) = exp²(x) - 1
exp²(x) - 2yexp(x) - 1 = 0
exp(x) = y ± √(y² + 1) = y + √(y² + 1) ≧ 0
x = log{y + √(y² + 1)}
sinh^-1(y) = log{y + √(y² + 1)}
 
cosh^-1(y)をlogで表す
y = cosh(x) = {exp(x)+exp(-x)}/2
2y = exp(x)+exp(-x)
2yexp(x) = exp²(x) + 1
exp²(x) - 2yexp(x) + 1 = 0
exp(x) = y ± √(y² - 1) = y + √(y² - 1) ≧ 0
x = log{y + √(y² - 1)}
ここでy = cosh(x) = cosh(-x)よりcosh^-1(y) = ±xなので
x = ±log{y+√(y² - 1)}
cosh^-1(y) = ±log{y + √(y² + 1)}
 
▼ 双曲線関数(その他)
cosh(a)+1 = cosh²(a/2) + sinh²(a/2) + 1
= cosh²(a/2) + sinh²(a/2) + cosh²(a/2) - sinh²(a/2)
= 2cosh²(a/2)
cosh(a)+1 = 2cosh²(a/2)
 
cosh(a) = cosh²(a/2) + sinh²(a/2)
= 1 + sinh²(a/2) + sinh²(a/2)
cosh(a)-1 = 2sinh²(a/2)
 
sinh(a) = 2sinh(a/2)cosh(a/2)
 
{cosh(a)+1}/sinh(a)
= 2cosh²(a/2)/{2sinh(a/2)cosh(a/2)}
= cosh(a/2)/sinh(a/2) = tanh(a/2)
{cosh(a)+1}/sinh(a) = tanh(a/2)
 
 
■ 結果
▼ 双曲線関数(定義)
cosh(x) = {exp(x) + exp(-x)}/2
sinh(x) = {exp(x) - exp(-x)}/2
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}
 
▼ 双曲線関数(公式)
sinh(-x) = -sinh(x)
cosh(-x) =  cosh(x)
tanh(-x) = -tanh(x)
cosh²(t) - sinh²(t) = 1
{cosh(x)}' = sinh(x)
{sinh(x)}' = cosh(x)
 
▼ 双曲線関数(加法定理)
sinh(a±b) = sinh(a)cosh(b)±sinh(b)cosh(a)
sinh(2a) = 2sinh(a)cosh(a)
cosh(a±b) = cosh(a)cosh(b)±sinh(a)sinh(b)
cosh(2a) = cosh²(a) + sinh²(a)
tanh(a±b) = {tanh(a)±tanh(b)} / {1±tanh(a)tanh(b)}
 
▼ 逆双曲線関数
tanh^-1(y) = log{(1 + y)/(1 - y)}/2
sinh^-1(y) = log{y + √(y² + 1)}
cosh^-1(y) = ±log{y + √(y² + 1)}
 
▼ 双曲線関数(その他)
cosh(a)+1 = 2cosh²(a/2)
cosh(a)-1 = 2sinh²(a/2)
sinh(a) = 2sinh(a/2)cosh(a/2)
{cosh(a)+1}/sinh(a) = tanh(a/2)