懸垂線(改訂版) (6回目)

2025/8/10(日)
懸垂線(改訂版) (6回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の右端のx座標[m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
▼ 紐の長さL
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}
 
▼ 問題
(3) x₀ を g,ρ,L,x₁,y₁,H で表せ
 
 
■ 双曲線関数の公式
▼ 双曲線関数(定義)
cosh(x) = {exp(x) + exp(-x)}/2
sinh(x) = {exp(x) - exp(-x)}/2
tanh(x) = sinh(x)/cosh(x) = {exp(x)-exp(-x)}/{exp(x)+exp(-x)}
 
▼ 双曲線関数(公式)
sinh(-x) = -sinh(x)
cosh(-x) =  cosh(x)
tanh(-x) = -tanh(x)
cosh²(t) - sinh²(t) = 1
{cosh(x)}' = sinh(x)
{sinh(x)}' = cosh(x)
 
▼ 双曲線関数(加法定理)
sinh(a±b) = sinh(a)cosh(b)±sinh(b)cosh(a)
sinh(2a) = 2sinh(a)cosh(a)
cosh(a±b) = cosh(a)cosh(b)±sinh(a)sinh(b)
cosh(2a) = cosh²(a) + sinh²(a)
tanh(a±b) = {tanh(a)±tanh(b)} / {1±tanh(a)tanh(b)}
 
▼ 逆双曲線関数
tanh^-1(y) = log{(1 + y)/(1 - y)}/2
sinh^-1(y) = log{y + √(y² + 1)}
cosh^-1(y) = ±log{y + √(y² + 1)}
 
▼ 双曲線関数(その他)
cosh(a)+1 = 2cosh²(a/2)
cosh(a)-1 = 2sinh²(a/2)
sinh(a) = 2sinh(a/2)cosh(a/2)
{cosh(a)+1}/sinh(a) = tanh(a/2)
 
 
■ (3)x₀の導出
▼ 定義
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
 
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
より
y₁ = y(x₁) = λ{cosh(x₁/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
 
▼ y₁, Lについての式からx₀を求める
y₁ = λ{cosh(x₁/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}  … ①
L  = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}  … ➁
この2式を連立させて未知数x₀とλが求められそう
 
まず式①/➁を計算してみる
 
b = x₁/λ, a = x₀/λと置くと
y₁/L  … (L > 0)
= [λ{cosh(x₁/λ-x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}]
/ [λ{sinh(x₁/λ-x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}]
= {cosh(b - a) - cosh(a)}
/ {sinh(b - a) + sinh(a)}
= {cosh(b)cosh(a)-sinh(b)sinh(a) - cosh(a)}
/ {sinh(b)cosh(a)-cosh(b)sinh(a) + sinh(a)}
= [{cosh(b)-1}cosh(a)-sinh(b)sinh(a)]
/ [sinh(b)cosh(a)-{cosh(b)-1}sinh(a)]
= {2sinh²(b/2)cosh(a)-2sinh(b/2)cosh(b/2)sinh(a)}
/ {2sinh(b/2)cosh(b/2)cosh(a)-2sinh²(b/2)sinh(a)}
= [2sinh(b/2){sinh(b/2)cosh(a)-cosh(b/2)sinh(a)}]
/ [2sinh(b/2){cosh(b/2)cosh(a)-sinh(b/2)sinh(a)}]
= {sinh(b/2)cosh(a)-cosh(b/2)sinh(a)}
/ {cosh(b/2)cosh(a)-sinh(b/2)sinh(a)}
= {tanh(b/2)-tanh(a)} / {1-tanh(b/2)tanh(a)}
= tanh(b/2 - a)
= tanh(x₁/(2λ) - x₀/λ)
 
途中cosh(b)-1とsinh(b)を上記公式で変形
分子分母をcosh(b/2)cosh(a)で割ってtanhに変形
などしています
 
x₁/(2λ) - x₀/λ = tanh^-1(y₁/L)
= log[{1+(y₁/L)}/{1-(y₁/L)}]/2
x₁/2 - x₀ = (1/2)λlog[{1+(y₁/L)}/{1-(y₁/L)}]
より
x₀ = (1/2)(x₁ - λlog{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)})
 
 
■ 結果
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
x₁ :紐の右端のx座標[m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
▼ 紐の底のx座標x₀ 
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}
x₀ = (1/2)(x₁ - λlog{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)})