懸垂線(改訂版) (7回目)

2025/8/15(金)
懸垂線(改訂版) (7回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 前提
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
x₁ :紐の右端のx座標[m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
y' :紐の傾き
 
 
▼ 紐の底のx座標x₀ 
λ = H/(ρg) と置く
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}
x₀ = (1/2)(x₁ - λlog{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)})  … (y₁/L > 0)
 
▼ 問題
(4) H を g,ρ,L,x₁,y₁ から求める方法を示せ
 
 
■ ニュートン法
▼ 説明 

y = f(x)のxでの接線の傾きは微分したy'= f'(x)で
x = aの時の接線は
y - f(a) = f'(a)(x - a)より
y = f'(a)(x - a) + f(a)
これと、x軸(y = 0)との交点は
f'(a)(x - a) + f(a) = 0より
x = {af'(a) - f(a)} / f'(a)
x = a - f(a)/f'(a)
 
▼ 手順
x₀ = a
x₁ = a - f(a)/f'(a)
と置くと
x_n+1 = x_n - f(x_n)/f'(x_n)
これを、n=0,1,2, ... と繰返すと、
f(x) = 0の解の1つに近づく、
|f(x_n)/f'(x_n)| < ε
になるまで繰返す
 
 
■ マクローリン展開
▼ f(x)のマクローリン展開
f⁽⁰⁾(x) = ax² + bx + c , f⁽⁰⁾(0) = c
f⁽¹⁾(x) = 2ax + 1b , f⁽¹⁾(0) = 1b
f⁽²⁾(x) = 1･2a , f⁽²⁾(0) = 1･2a
f⁽⁰⁾(x) = f⁽⁰⁾(0) + f⁽¹⁾(0)x/1 + f⁽²⁾(0)x²/(1･2) + …
= Σ_n=0^∞f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ/n!
 
▼ 双曲線関数
cosh(x) = {exp(x) + exp(-x)}/2
sinh(x) = {exp(x) - exp(-x)}/2
{cosh(x)}' = {exp(x) - exp(-x)}/2 = sinh(x)
{sinh(x)}' = {exp(x) + exp(-x)}/2 = cosh(x)
 
▼ sinh(x)のマクローリン展開
f⁽⁰⁾(x) = sinh(x), f⁽⁰⁾(0) = 0
f⁽¹⁾(x) = cosh(x), f⁽¹⁾(0) = 1
f⁽²⁾(x) = sinh(x), f⁽²⁾(0) = 0
f⁽³⁾(x) = cosh(x), f⁽³⁾(0) = 1
 
f⁽⁰⁾(x) = f⁽⁰⁾(0) + f⁽¹⁾(0)x/1 + f⁽²⁾(0)x²/(1･2) + …
= x/1! + x³/3! + x⁵/5! + …
= x + x³/6 + x⁵/120 + …
 
sinh(x) = x + x³/6 + x⁵/120 + …
 
 
■ Hを解く
▼ L/λについての式
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}
x₀ = (1/2)(x₁ - λlog{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)})
 
Hはλにのみ含まれる
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
x₀ = (1/2)(x₁ - λα)
x₀/λ = x₁/(2λ) - α/2
 
L/λ = sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)
= sinh(x₁/λ - {x₁/(2λ) - α/2}) + sinh(x₁/(2λ) - α/2)
= sinh(x₁/(2λ) + α/2) + sinh(x₁/(2λ) - α/2)
= sinh(x₁/(2λ))cosh(α/2) + cosh(x₁/(2λ))sinh(α/2)
+ sinh(x₁/(2λ))cosh(α/2) - cosh(x₁/(2λ))sinh(α/2)
= 2sinh(x₁/(2λ))cosh(α/2)
よって
2sinh(x₁/(2λ))cosh(α/2) = L/λ
を変形して
(2/L)cosh(α/2)sinh(x₁/(2λ)) - 1/λ = 0
 
β = (1/L)cosh(α/2)と置く
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2λ)) - 1/λ = 0
となるλを求める
 
▼ λの近似式
sinh(x) ≒ x + x³/6  … マクローリン展開
|x|が小さいほど誤差が小さい
 
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2λ)) - 1/λ
のマクローリン展開による近似式を求める
|x₁/(2λ)|が大きいほど、Hが小さいほど誤差が大くなる
 
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2λ)) - 1/λ
≒ 2β{x₁/(2λ) + x₁³/(2λ)³/6} - 1/λ
= βx₁/λ + βx₁³/(2λ)³/3 - 1/λ
= (βx₁ - 1)/λ + βx₁³/λ³/(2³･3) = 0
(βx₁ - 1)λ² + βx₁³/(2³･3) = 0
λ ≒ √{βx₁³/(2³･3 - 2³･3βx₁)}  … (λ > 0, H > 0)より
= (x₁/2)√{βx₁/(6 - 6βx₁)}
= x₁/[2√{(6 - 6βx₁)/βx₁}]
= x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]
 
▼ f'(λ)を求める
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2λ)) - 1/λ
f'(λ) = -2β{x₁/(2λ²)}cosh(x₁/(2λ)) + 1/λ² 
= (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
 
 
▼ ニュートン法
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く  … (αにHは含まれていない)
β = (1/L)cosh(α/2)と置く  … (βにHは含まれていない)
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2λ)) - 1/λ = 0
f'(λ) = (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
λ ≒ x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]  … 近似式
 
初期値λ₀ = x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]  … 近似式
Δλ_n = f(λ_n)/f'(λ_n)
λ_n+1 = λ_n - Δλ_n 
λ = λ_n+1 (if |Δλ_n| < ε)
以上により誤差ε程度で λ を求めることができる
 
▼ Hを求める
λ = H/(ρg) より
H = ρgλ
 
 
■ 結果
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
x₁ :紐の右端のx座標[m]
x₀ :紐の底のx座標[m]
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
λ = H/(ρg) と置くとH = ρgλ
 
▼ y(x)のグラフ
λをニュートン法で求める
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
β = (1/L)cosh(α/2)と置く
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2/λ)) - 1/λ = 0
f'(λ) = (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
 
初期値λ₀ = x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]      … 近似式
Δλ_n = f(λ_n)/f'(λ_n)
λ_n+1 = λ_n - Δλ_n 
λ = λ_n+1 (if |Δλ_n| < ε)
以上により誤差ε程度で λ を求めることができる
 
L, x₁, y₁ から求めたλを以下に代入
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
x₀ = (1/2)(x₁ - λα)
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}