懸垂線(改訂版) (8回目)

2025/8/20(水)
懸垂線(改訂版) (8回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
 
■ 問題
紐の両端を固定して垂らす
 
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の両端間の水平距離[m]
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
が分かっている
 
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
x₀ :左端から紐の底までの水平距離[m]
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
として次の問いに答えよ
 
(1) y(x) を g,ρ,x₀,H,x で表せ
 
(2) L を g,ρ,x₀,x₁,H で表せ
 
(3) x₀ を g,ρ,L,x₁,y₁,H で表せ
 
(4) H を g,ρ,L,x₁,y₁ から求める方法を示せ
 
 
問(4)でH、問(3)でx₀が求まり問(1)で紐の形状を描くことができる
 
 
■ 略解
▼ (1) y(x) を g,ρ,x₀,H,x で表せ
λ = H/(ρg) と置く
y" = (1/λ)√(1 + y'²)                        … 懸垂線の微分方程式
y'(x) = sinh(x/λ - x₀/λ)                    … 懸垂線の傾き
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}   … 懸垂線
 
▼ (2) L を g,ρ,x₀,x₁,H で表せ
λ = H/(ρg) と置く
L = λ{sinh(x₁/λ - x₀/λ) + sinh(x₀/λ)}  … 紐の長さ
 
▼ (3) x₀ を g,ρ,L,x₁,y₁,H で表せ
λ = H/(ρg) と置く
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く  … (αにHは含まれていない)
x₀ = (1/2)(x₁ - λα)
 
▼ (4) H を g,ρ,L,x₁,y₁ から求める方法を示せ
λ = H/(ρg) と置く
 
λをニュートン法で求める
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
β = (1/L)cosh(α/2)と置く
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2/λ)) - 1/λ = 0
f'(λ) = (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
 
初期値λ₀ = x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]      … 近似式
|x₁/(2λ)|が大きいほど、Hが小さいほど誤差が大くなる
 
Δλ_n = f(λ_n)/f'(λ_n)
λ_n+1 = λ_n - Δλ_n 
λ = λ_n+1 (if |Δλ_n| < ε)
以上により誤差ε程度で λ を求めることができる
よって
H = ρgλ
 
■ まとめ
▼ 定義
g  :重力加速度[m/s²]
ρ :紐の線密度[kg/m]
L  :紐の長さ[m] (0 < √(x₁² + y₁²) < L)
x₁ :紐の両端間の水平距離[m]
y₁ :紐の左端に対する右端の高さ[m]
が分かっている
 
H  :水平張力[N] (紐の頂点での張力)
x₀ :左端から紐の底までの水平距離[m]
y  :紐の高さ[m] (紐の左端を原点とするxの関数)
 
▼ H
H = ρgλ
 
▼ y(x)のグラフ
λをニュートン法で求める
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
β = (1/L)cosh(α/2)と置く
f(λ) = 2βsinh(x₁/(2/λ)) - 1/λ = 0
f'(λ) = (1/λ²){1 - βx₁cosh(x₁/(2λ))}
 
初期値λ₀ = x₁/[2√{6/(βx₁) - 6}]      … 近似式
Δλ_n = f(λ_n)/f'(λ_n)
λ_n+1 = λ_n - Δλ_n 
λ = λ_n+1 (if |Δλ_n| < ε)
以上により誤差ε程度で λ を求めることができる
 
L, x₁, y₁ から求めたλを以下に代入
α = log{(1 + y₁/L)/(1 - y₁/L)}と置く
x₀ = (1/2)(x₁ - λα)
y(x) = λ{cosh(x/λ - x₀/λ) - cosh(x₀/λ)}