二次方程式の解の公式 (2回目)

2025/8/30(土)
二次方程式の解の公式 (2回目)
 
(quadratic)
 
■ 二次方程式の解の公式
▼ 問題
二次方程式の解の公式で一次方程式の解を
求めることができないのはなぜか?
 
▼ 導出
ax² + bx + c = 0 をxについて解く
 
x² + bx/a + c/a = 0  … ここで(a ≠ 0)とする必要がある
(x + b/(2a))² - b²/(2a)² + c/a = 0
x + b/(2a) = ±√{b²/(2a)² - c/a}
x = -b/(2a)±√{(b² - 4ac)/(2a)²}
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)
つまりこの公式は(a ≠ 0)の条件で導出された公式なので
一次方程式(a = 0)のときは使えないということになる
 
▼ 変形
bx + c = 0の解x = -c/bを二次方程式の解の公式で解けるか?
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a) は(a ≠ 0)の条件で導かれた
これを変形してみる
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)
= {-b±√(b² - 4ac)}{-b∓√(b² - 4ac)} / [(2a){-b∓√(b² - 4ac)}]
= {b² - (b² - 4ac)} / [(2a){-b∓√(b² - 4ac)}]
= 4ac / [(2a){-b∓√(b² - 4ac)}]
= -2c / {b±√(b² - 4ac)}
 
ということで(a = 0)のときも計算できそうな式が導けた
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}
 
▼ 検証
ax² + bx + c = 0
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}
 
これにa = 0を代入
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}
= -2c/(b±b) = -c/b,-2c/0  … /0は不適なので
x = -c/b
となる
 
 
■ 二次方程式の例題
▼ x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)で解く
2x² - 2x - 4 = 0
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)
= {2±√(2² + 4･2･4)}/(2･2)
= {2±2√(1 + 8)}/4
= (2±6)/4
= (1±3)/2
= -1, 2
 
▼ x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}で解く
2x² - 2x - 4 = 0
 
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}
= 2･4 / {-2±√(2² + 4･2･4)}
= 2･4 / {-2±2√(1 + 8)}
= 2･4 / (-2±2･3)
= -4 / (1±3)
= -1, 2
 
 
■ 一次方程式の解を二次方程式の解の公式で解く
▼ x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)で解く
2x - 4 = 0
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)
= {-2±√(2²)}/0
= (-2±2)/0
= -4/0, 0/0
解けない
 
▼ x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}で解く
2x - 4 = 0
 
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}
= 2･4 / {2±√(2²)}
= 2･4 / (2±2)
= 4 / (1±1)
= 2, 4/0  … (4/0不適)
= 2
 
 
■ 結果
▼ 公式
ax² + bx + c = 0
 
x = {-b±√(b² - 4ac)}/(2a)  …  (a ≠ 0)
または
x = -2c / {b±√(b² - 4ac)}