等速円運動 (1回目)

2025/11/15(土)
 
等速円運動 (1回目)
 
(uniform circular motion)
 
■ 等速円運動
▼ 位置R、速度V、加速度A
θ:角度
ω:角速度
t :時間
 
R = (x, y, z)
= (rcosθ, rsinθ, 0)
= (rcosωt, rsinωt, 0)
 
V = (v_x, v_y, v_z)
= ((d/dt)rcosωt, (d/dt)rsinωt, (d/dt)0)
= (-ωrsinωt, ωrcosωt, 0)
= (-ωy, ωx, 0)
 
A = (a_x, a_y, a_z)
= ((d/dt)(-ωrsinωt), (d/dt)ωrcosωt, (d/dt)0)
= (-ω²rcosωt, -ω²rsinωt, 0)
= (-ω²x, -ω²y, 0)
 
▼ ナブラ∇
∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
 
▼ 回転rot
rotR = ∇×R = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)×(x, y, z)
= ((∂/∂y)z - (∂/∂z)y, (∂/∂z)x - (∂/∂x)z, (∂/∂x)y - (∂/∂y)x)
= (0, 0, (∂/∂x)rsinωt - (∂/∂y)rcosωt)
= (0, 0, 0)
 
rotV = ∇×V = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)×(v_x, v_y, v_z)
= ((∂/∂y)v_z - (∂/∂z)v_y, (∂/∂z)v_x - (∂/∂x)v_z, (∂/∂x)v_y - (∂/∂y)v_x)
= (0, 0, (∂/∂x)ωx - (∂/∂y)(-ωy))
= (0, 0, ω - (-ω))
= (0, 0, 2ω)
 
rotA = ∇×A = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)×(a_x, a_y, a_z)
= ((∂/∂y)a_z - (∂/∂z)a_y, (∂/∂z)a_x - (∂/∂x)a_z, (∂/∂x)a_y - (∂/∂y)a_x)
= (0, 0, (∂/∂x)(-ω²y) - (∂/∂y)(-ω²x))
= (0, 0, 0)
 
▼ 発散div
divR = ∇･R = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)･(x, y, z)
= (∂/∂x)x + (∂/∂y)y + (∂/∂z)z
= (∂/∂x)rcosωt + (∂/∂y)rsinωt + (∂/∂z)0
= 0
 
divV = ∇･V = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)･(v_x, v_y, v_z)
= (∂/∂x)v_x + (∂/∂y)v_y + (∂/∂z)v_z 
= (∂/∂x)(-ωy) + (∂/∂y)ωx + (∂/∂z)0
= 0
 
divA = ∇･A = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)･(a_x, a_y, a_z)
= (∂/∂x)a_x + (∂/∂y)a_y + (∂/∂z)a_z 
= (∂/∂x)(-ω²x) + (∂/∂y)(-ω²y) + (∂/∂z)0
= -2ω² 
 
 
■ 考察
▼ 発散div
divR = ∇･R = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)･(x, y, z)
= (∂/∂x)x + (∂/∂y)y + (∂/∂z)z
= 1 + 1 + 1
= 3
どうやらこの3は3次元の3らしいので
 
rotV = (0, 0, 2ω)
divA = -2ω² 
の係数2はx,y座標の2次元という意味?違うかも?
 
 
■ 結果
▼ 位置R、速度V、加速度A
R = (x, y, z) = (rcosωt, rsinωt, 0)
V = (v_x, v_y, v_z) = (-ωy, ωx, 0)
A = (a_x, a_y, a_z) = (-ω²x, -ω²y, 0)
 
▼ 回転rot
rotR = (0, 0, 0)
rotV = (0, 0, 2ω)
rotA = (0, 0, 0)
 
▼ 発散div
divR = 0
divV = 0
divA = -2ω² 
 
▼ 考察
rotV = (0, 0, 2ω)  … (2はx,yの2次元?)
Vベクトルが1周している(渦あり)になっている
回転軸ω = (0, 0, ω)  … (角速度がω)
 
divA = -2ω²  … (2はx,yの2次元?)
Aベクトルが回転軸に集まっている(負の湧き出しあり)
Rに対する係数が-ω² 
A = -ω²R