nのn乗の和の1の位 (2回目)

2025/11/27(木)
nのn乗の和の1の位 (2回目)
 
(summation)
 
■ nのn乗の和の1の位
▼ 問題
Σ_n=1⁹n¹⁰⁰ = 1¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ + … + 10¹⁰⁰ の1の位はいくつか
 
■ 考察
▼ mⁿ(1≦n≦100)を10で割った余りを調べる
       5,6,7,8,…,100 (1～10のn乗を10で割った余りを以下に示す)
    n =1,2,3,4,
 1ⁿ ≡ 1       (mod 10)
 2ⁿ ≡ 2,4,8,6 (mod 10) … (2 4 8 16 (3)2 (6)4 …)
 3ⁿ ≡ 3,9,7,1 (mod 10) … (3 9 27 81 (24)3 …)
 4ⁿ ≡ 4,6     (mod 10) … (4 6 24 …)
 5ⁿ ≡ 5       (mod 10) … (5 25 …)
 6ⁿ ≡ 6       (mod 10) … (6 36 …)
 7ⁿ ≡ 7,9,3,1 (mod 10) … (7 9 3 1 7 …)
 8ⁿ ≡ 8,4,2,6 (mod 10) … (8 4 2 6 8 …)
 9ⁿ ≡ 9,1     (mod 10) … (9 1 9 …)
10ⁿ ≡ 0       (mod 10)
11ⁿ ≡ 1       (mod 10) … (11 …)
…
より
 1¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 10)
 2¹⁰⁰ ≡ 6 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 4)]
 3¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 4)]
 4¹⁰⁰ ≡ 6 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 2)]
 5¹⁰⁰ ≡ 5 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 1)]
 6¹⁰⁰ ≡ 6 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 1)]
 7¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 4)]
 8¹⁰⁰ ≡ 6 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 4)]
 9¹⁰⁰ ≡ 1 (mod 10)  … [100 ≡ 0 (mod 1)]
10¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 10)
 
▼ n¹⁰⁰(1≦n≦10)の1の位を足す
n =  1 ⇒ 1
n =  2 ⇒ 6 + 1 =  7
n =  3 ⇒ 1 + 7 =  8
n =  4 ⇒ 6 + 8 = 14
n =  5 ⇒ 5 + 4 =  9
n =  6 ⇒ 6 + 9 = 25
n =  7 ⇒ 1 + 5 =  6
n =  8 ⇒ 6 + 6 = 12
n =  9 ⇒ 1 + 2 =  3
n = 10 ⇒ 0 + 3 =  3
 
▼ 結果
Σ_n=1⁹n¹⁰⁰ = 1¹⁰⁰ + 2¹⁰⁰ + 3¹⁰⁰ + … + 10¹⁰⁰ の1の位はいくつか
(1の位は3)