nのn乗の和の1の位

2025/11/1(土)
nのn乗の和の1の位
 
(summation)
 
■ nのn乗の和の1の位
▼ 問題
Σ_n=1¹⁰⁰nⁿ = 1¹ + 2² + 3³ + … + 100¹⁰⁰ の1の位はいくつか
 
■ 考察
▼ nⁿ(1≦n≦100)を10で割った余りを調べる
       5,6,7,8,…,100 (1～10のn乗を10で割った余りを以下に示す)
    n =1,2,3,4,
 1ⁿ ≡ 1       (mod 10)
 2ⁿ ≡ 2,4,8,6 (mod 10) … (2 4 8 16 (3)2 (6)4 …)
 3ⁿ ≡ 3,9,7,1 (mod 10) … (3 9 27 81 (24)3 …)
 4ⁿ ≡ 4,6     (mod 10) … (4 6 24 …)
 5ⁿ ≡ 5       (mod 10) … (5 25 …)
 6ⁿ ≡ 6       (mod 10) … (6 36 …)
 7ⁿ ≡ 7,9,3,1 (mod 10) … (7 9 3 1 7 …)
 8ⁿ ≡ 8,4,2,6 (mod 10) … (8 4 2 6 8 …)
 9ⁿ ≡ 9,1     (mod 10) … (9 1 9 …)
10ⁿ ≡ 0       (mod 10)
11ⁿ ≡ 1       (mod 10) … (11 …)
…
 
▼ nⁿ(1≦n≦100)を10で割った余りを足す
1の位のみを足すと                n ← n + 10(指数は10↓ずつ増加より)
1¹+11¹¹+21²¹+…+91⁹¹ = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1 = 10         [10≡0 (mod 1)]
2²+12¹²+22²²+…+92⁹² = 4+6+4+6+4+6+4+6+4+6 = 20+30 = 50 [10≡2 (mod 4)]
3³+13¹³+23²³+…+93⁹³ = 7+3+7+3+7+3+7+3+7+3 = 35+15 = 40 [10≡2 (mod 4)]
4⁴+14¹⁴+24²⁴+…+94⁹⁴ = 6+6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 60         [10≡0 (mod 2)]
5⁵+15¹⁵+25²⁵+…+95⁹⁵ = 5+5+5+5+5+5+5+5+5+5 = 50         [10≡0 (mod 1)]
6⁶+16¹⁶+26²⁶+…+96⁹⁶ = 6+6+6+6+6+6+6+6+6+6 = 60         [10≡0 (mod 1)]
7⁷+17¹⁷+27²⁷+…+97⁹⁷ = 3+7+3+7+3+7+3+7+3+7 = 15+35 = 40 [10≡2 (mod 4)]
8⁸+18¹⁸+28²⁸+…+98⁹⁸ = 6+4+6+4+6+4+6+4+6+4 = 30+20 = 50 [10≡2 (mod 4)]
9⁹+19¹⁹+29²⁹+…+99⁹⁹ = 9+9+9+9+9+9+9+9+9+9 = 90         [10≡0 (mod 2)]
10¹⁰+20²⁰+…+100¹⁰⁰  = 0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0          [10≡0 (mod 1)]
 
更に1の位のみを足すと
0+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 0
 
▼ 結果
Σ_n=1¹⁰⁰nⁿ = 1¹ + 2² + 3³ + … + 100¹⁰⁰ ≡ 0 (mod 10)
(1の位は0)