マクスウェル方程式 (2回目)

2025/12/20(土)
マクスウェル方程式 (2回目)
 
(Maxwell)(Electro magnetics)
 
■ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式を導く1
▼ 定義
c  :真空中の光速度[m/s]
ρ :電荷密度[C/m³](総量Q:電荷[C])
ε₀:真空中の誘電率[F/m](ε:誘電率)
φ :静電ポテンシャル[V] = [J/C]
E  :電場[N/C]
D  :電束密度[C/m²]
r  :原点からの距離[m](r = |r|)
B  :磁束密度(T) = [Wb/m²] = [Vs/m²] = [N/(A･m)]
Φ :磁束[Wb]
H  :磁場[A/m] = [N/Wb]
j  :電流密度[A/m²](総量I:電流[A])
μ₀:真空中の透磁率[N/A²](μ:透磁率)
 
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
∂^μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂_μ = { (1/c)(∂/∂t), ∇}
ダランべルシアン□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
grad φ = ∇φ , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
1/c² = ε₀μ₀ 
 
▼ マクスウェル方程式
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
divB = 0                     … (湧出しなし)
 
▼ 特殊相対論的マクスウェル方程式
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
 
▼ 電磁場テンソル
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0
 
 
■ 導出
▼ 変形
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
 
∂_νF^μν 
= {(1/c)(∂/∂t), ∇}
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
=
{ (1/c)(∂/∂t)0    + (∂/∂x)Ex/c + (∂/∂y)Ey/c + (∂/∂z)Ez/c
,-(1/c)(∂/∂t)Ex/c - (∂/∂x)0    + (∂/∂y)Bz   - (∂/∂z)By
,-(1/c)(∂/∂t)Ey/c - (∂/∂x)Bz   - (∂/∂y)0    + (∂/∂z)Bx
,-(1/c)(∂/∂t)Ez/c + (∂/∂x)By   - (∂/∂y)Bx   - (∂/∂z)0}
=
{ (1/c )(∂/∂x)Ex + (1/c)(∂/∂y)Ey + (1/c)(∂/∂z)Ez
,-(1/c²)(∂/∂t)Ex +      (∂/∂y)Bz -      (∂/∂z)By
,-(1/c²)(∂/∂t)Ey -      (∂/∂x)Bz +      (∂/∂z)Bx
,-(1/c²)(∂/∂t)Ez +      (∂/∂x)By -      (∂/∂y)Bx}
= {(1/c)∇･E , -(1/c²)(∂/∂t)E + ∇×B }
= {(1/c)divE , rotB - (1/c²)(∂E/∂t)} = μ₀j^μ = μ₀(cρ, j)
 
より
(1/c)divE = μ₀cρ
divE = μ₀c²ρ = μ₀ρ/(ε₀μ₀) = ρ/ε₀ 
 
rotB - (1/c²)(∂E/∂t)
= rotB - ε₀μ₀(∂E/∂t) = μ₀j 
 
■ 結果
▼ 変形
∂_νF^μν 
= {(1/c)(∂/∂t), ∇}
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
= {(1/c)divE , rotB - (1/c²)(∂E/∂t)} = μ₀(cρ, j)
 
▼ マクスウェル方程式
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)