マクスウェル方程式 (3回目)

2025/12/27(土)
マクスウェル方程式 (3回目)
 
(Maxwell)(Electro magnetics)
 
■ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式を導く2
▼ 定義
c  :真空中の光速度[m/s]
ρ :電荷密度[C/m³](総量Q:電荷[C])
ε₀:真空中の誘電率[F/m](ε:誘電率)
φ :静電ポテンシャル[V] = [J/C]
E  :電場[N/C]
D  :電束密度[C/m²]
r  :原点からの距離[m](r = |r|)
B  :磁束密度(T) = [Wb/m²] = [Vs/m²] = [N/(A･m)]
Φ :磁束[Wb]
H  :磁場[A/m] = [N/Wb]
j  :電流密度[A/m²](総量I:電流[A])
μ₀:真空中の透磁率[N/A²](μ:透磁率)
 
ナブラ∇ = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
∂^μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂_μ = { (1/c)(∂/∂t), ∇}
ダランべルシアン□ = ∂^μ∂_μ = -(1/c²)(∂²/∂t²) + Δ
grad φ = ∇φ , div E = ∇･E , rot E = ∇×E 
1/c² = ε₀μ₀ 
 
▼ マクスウェル方程式
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
divB = 0                     … (湧出しなし)
 
▼ 特殊相対論的マクスウェル方程式
□A^μ - ∂^μ(∂_νA^ν) = -μ₀j^μ 
 
▼ 電磁場テンソル
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0
 
 
■ 導出
▼ 変形
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
F_μν =
|0     -Ex/c -Ey/c -Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
 
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0
 
μ = 1, ν = 2, λ = 3, ∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ 
= ∂₃F₁₂ + ∂₁F₂₃ + ∂₂F₃₁ 
= (∂/∂z)Bz + (∂/∂x)Bx + (∂/∂y)By
= ▽･B = divB = 0
divB = 0
 
μ = 0, ν = 1, λ = 2, ∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ 
= ∂₂F₀₁ + ∂₀F₁₂ + ∂₁F₂₀ 
= (∂/∂y)(-Ex/c) + (1/c)(∂/∂t)Bz + (∂/∂x)(Ey/c)
= (1/c){(∂/∂t)Bz + (∂/∂x)Ey - (∂/∂y)Ex}
μ = 0, ν = 2, λ = 3, ∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ 
= ∂₃F₀₂ + ∂₀F₂₃ + ∂₂F₃₀ 
= (∂/∂z)(-Ey/c) + (1/c)(∂/∂t)Bx + (∂/∂y)(Ez/c)
= (1/c){(∂/∂t)Bx + (∂/∂y)Ez - (∂/∂z)Ey}
μ = 0, ν = 3, λ = 1, ∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ 
= ∂₁F₀₃ + ∂₀F₃₁ + ∂₃F₁₀ 
= (∂/∂x)(-Ez/c) + (1/c)(∂/∂t)By + (∂/∂z)(Ex/c)
= (1/c){(∂/∂t)By + (∂/∂z)Ex - (∂/∂x)Ez}
(1/c)
[{(∂/∂t)Bx + (∂/∂y)Ez - (∂/∂z)Ey}
,{(∂/∂t)By + (∂/∂z)Ex - (∂/∂x)Ez}
,{(∂/∂t)Bz + (∂/∂x)Ey - (∂/∂y)Ex}]
= (1/c)(∂B/∂t + ▽×E)
= (1/c)(rotE + ∂B/∂t) = 0
rotE + ∂B/∂t = 0
 
その他の組み合わせは意味のない式または同じ式となるらしい
 
 
■ 結果
▼ 変形
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
F_μν =
|0     -Ex/c -Ey/c -Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
∂_λF_μν + ∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ = 0
 
μ = 1, ν = 2, λ = 3, ∂₃F₁₂ + ∂₁F₂₃ + ∂₂F₃₁ 
= (∂/∂z)Bz + (∂/∂x)Bx + (∂/∂y)By
= divB = 0
 
(μ = 0, ν = 2, λ = 3)
(μ = 0, ν = 3, λ = 1)
(μ = 0, ν = 1, λ = 2)
(∂₃F₀₂+∂₀F₂₃+∂₂F₃₀, ∂₁F₀₃+∂₀F₃₁+∂₃F₁₀, ∂₂F₀₁+∂₀F₁₂+∂₁F₂₀)
= (1/c)
{(∂/∂t)Bx + (∂/∂y)Ez - (∂/∂z)Ey
,(∂/∂t)By + (∂/∂z)Ex - (∂/∂x)Ez
,(∂/∂t)Bz + (∂/∂x)Ey - (∂/∂y)Ex} = 0
rotE + ∂B/∂t = 0
 
▼ マクスウェル方程式
divB = 0                     … (湧出しなし)
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則