マクスウェル方程式 (4回目)

2025/12/31(水)
マクスウェル方程式 (4回目)
 
(Maxwell)(Electro magnetics)
 
■ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式を導く(その他)
▼ レビ・チビタ記号(Levi-Civita)
ε_ijk… = { 1 (123…の)偶置換, -1 (123…の)奇置換, 0 その他 }
 
ε_ijk の場合3³ = 27通り
ε₁₂₃ = ε₂₃₁ = ε₃₁₂ =  1
ε₁₃₂ = ε₂₁₃ = ε₃₂₁ = -1
ε₁₁₁ = ε₁₁₂ = ε₁₁₃ = ε₁₂₁ = ε₁₂₂ = ε₁₃₁ = ε₁₃₃ =  0
ε₂₁₁ = ε₂₁₂ = ε₂₂₁ = ε₂₂₂ = ε₂₂₃ = ε₂₃₂ = ε₂₃₃ =  0
ε₃₁₁ = ε₃₁₃ = ε₃₂₂ = ε₃₂₃ = ε₃₃₁ = ε₃₃₂ = ε₃₃₃ =  0
3+3+21 = 27通り
つまり
i,j,kのすべてが異なる数でなければ0
 
例
A = (A₁, A₂, A₃)
B = (B₁, B₂, B₃)
ε_1jk A_jB_k = ε₁₂₃ A₂B₃ + ε₁₃₂ A₃B₂ 
 
▼ レビ・チビタ記号でrot
ε_ijkA_jB_k 
= (ε_1jk A_jB_k , ε_2jk A_jB_k , ε_3jk A_jB_k)
= (ε₁₂₃ A₂B₃+ε₁₃₂ A₃B₂, ε₂₃₁ A₃B₁+ε₂₁₃ A₁B₃, ε₃₁₂ A₁B₂+ε₃₂₁ A₂B₁)
= (A₂B₃ - A₃B₂, A₃B₁ - A₁B₃, A₁B₂ - A₂B₁)
= A×B
 
▽ = (∂/∂₁, ∂/∂₂, ∂/∂₃) = ∂/∂_i ≡ ∂_i 
rotA = ▽×A = ε_ijk∂_jA_k 
 
 
■ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式へ
▼ マクスウェル方程式
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
divB = 0                     … (湧出しなし)
 
 
▼ 電磁場テンソル
c  :真空中の光速度(m/s)[c = 1/√(ε₀μ₀)導出略]
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
∂_μ = {(1/c)(∂/∂t), ∇}
∂^μ = η^μν∂_μ = {-(1/c)(∂/∂t), ∇}
 
F^μν = ∂^μA^ν - ∂^νA^μ 
=
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
 
F_μν =
|0     -Ex/c -Ey/c -Ez/c|
|Ex/c    0     Bz   -By |
|Ey/c   -Bz    0     Bx |
|Ez/c    By   -Bx    0  |
 
F⁰ⁱ = -Fⁱ⁰ = -F_0i = F_i0 = E_i/c
 
特殊相対論的マクスウェル方程式
∂_ν(∂^μA^ν - ∂^νA^μ) = μ₀j^μ 
または
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
F_μνλ ≡∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ + ∂_λF_μν = 0
 
▼ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式2式へ
i = 1
B_i = (1/2)ε_ijkF_jk 
= (1/2)
(ε₁₂₃F₂₃ + ε₁₃₂F₃₂ 
,ε₂₃₁F₃₁ + ε₂₁₃F₁₃ 
,ε₃₁₂F₁₂ + ε₃₂₁F₂₁)
= (1/2)(Bx + Bx, By + By, Bz + Bz)
= (Bx, By, Bz)
F^ij = F_ij = ε_ijkB_k 
=
|  0     Bz   -By |
| -Bz    0     Bx |
|  By   -Bx    0  |
 
μ,ν,λ = {0, 1, 2, 3}
i ,j ,k  = {1, 2, 3}
 
F⁰ⁱ = -Fⁱ⁰ = -F_0i = F_i0 = E_i/c
∂_νF^0ν =∂_jF^0j =∂_j(E_j/c) = ▽･(E/c) = divE/c = μ₀j⁰ = μ₀cρ
divE = μ₀c²ρ = ρ/ε₀ 
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
 
rotA = ▽×A = ε_ijk∂_jA_k 
∂₀Fⁱ⁰ = (1/c)(∂/∂t)(-E_i/c) = (1/c²)(∂E/∂t)
∂_jF^ij =∂_jε_ijkB_k =ε_ijk∂_jB_k = rotB 
∂_νF^iν = rotB - (1/c²)(∂E/∂t) = μ₀jⁱ = μ₀j 
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
 
▼ 電磁場テンソルからマクスウェル方程式残り2式へ
F_μνλ ≡∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ + ∂_λF_μν = 0
 
ε_ijkF_0jk = 0
ε_ijkF_ijk = 0
 
F_jk = -F_kj 
F_0i = -F_i0 
 
ε_ijkF_0jk = ε_ijk(∂₀F_jk + ∂_jF_k0 + ∂_kF_0j)
= {ε₁₂₃(∂₀F₂₃ + ∂₂F₃₀ + ∂₃F₀₂)
,  ε₂₃₁(∂₀F₃₁ + ∂₃F₁₀ + ∂₁F₀₃)
,  ε₃₁₂(∂₀F₁₂ + ∂₁F₂₀ + ∂₂F₀₁)}
= (∂₀Bx + ∂₂Ez/c - ∂₃Ey/c
,  ∂₀By + ∂₃Ex/c - ∂₁Ez/c
,  ∂₀Bz + ∂₁Ey/c - ∂₂Ex/c)
= (1/c)(∂B/∂t) + ∇×E/c = 0
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
 
ε_ijkF_ijk = ε_ijk(∂_iF_jk + ∂_jF_ki + ∂_kF_ij)
= ε₁₂₃(∂₁F₂₃ + ∂₂F₃₁ + ∂₃F₁₂)
+ ε₂₃₁(∂₂F₃₁ + ∂₃F₁₂ + ∂₁F₂₃)
+ ε₃₁₂(∂₃F₁₂ + ∂₁F₂₃ + ∂₂F₃₁)
= 3ε₁₂₃(∂₁F₂₃ + ∂₂F₃₁ + ∂₃F₁₂)
= 3(∂₁Bx + ∂₂By + ∂₃Bz)
= 3∇･B = 3divB = 0
divB = 0                     … (湧出しなし)
 
 
■ 結果
▼ 2式
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
より
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                … (ガウスの法則)
 
▼ 2式
F_μνλ ≡∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ + ∂_λF_μν = 0
より
rotE + ∂B/∂t = 0           … ファラデーの誘導法則
divB = 0                     … (湧出しなし)