解析力学 (邪道編)

2026/2/19(木)
 
解析力学 (邪道編)
 
 
■ 力学
▼ 注意
以下xをtで微分するとき
dxや∂xを/より優先順位を上として
dx/dtのように書くこととする
またyのx微分はy'と書くように
xのt(時間)微分は x(･) と書くこととする
 
▼ 定義
質量m , 加速度a , 速度v , 位置x
力F = ma , 運動量p = mv
運動エネルギーK = (1/2)mv² = p²/(2m)
位置エネルギーU = mgx  … (重力による近似ポテンシャルエネルギー)
力学的エネルギー E = K + U
 
▼ 運動エネルギーKを速度vで微分すると運動量pになる
dK/dv = (d/dv){(1/2)mv²} = mv = p なので
dK/dv = p  … (vの変化量に対するKの変化量がp)
 
これは
a = 一定 , v₀ = 0で考えると
v = at より
dx/dv = (dx/dt)(dt/dv) = v/a = at/a = t を使って
 
K = (1/2)mv² = Fx  … (仕事)
p =      mv  = Ft  … (力積)
 
dK/dv = p となるのは Fx を vで微分すると(x → tより)
Ft になる事を考えれば分かりやすいかも?
 
▼ 運動エネルギーKを運動量pで微分すると速度vになる
vの代わりにpを使うと
K = p²/(2m)
dK/dp = (d/dp){p²/(2m)} = p/m = v = dx/dt = x(･) 
dK/dp = x(･) = v  … ①
 
▼ 位置エネルギーUを位置xで微分すると力Fになる
U = mgx  … (上を正とする)
dU/dx = (d/dx)(mgx) = mg  … (上向き)
-mg = F = ma = mv(･) = p(･)     … (重力Fは下向き)
dU/dx = -p(･) = -F  … ②
 
 
■ 解析力学
▼ 定義
質量m , 一般化座標q_i(t), 一般化運動量p_i(t)
運動エネルギーT(t), ポテンシャルエネルギーV(t)
ハミルトニアンH(q_i , p_i , t)  … 系全体を含むエネルギー
正準方程式
q(･)_i =  ∂H/∂p_i  … ①'
p(･)_i = -∂H/∂q_i  … ②'
 
(∂は2変数以上の関数を1変数で微分する偏微分)
 
▼ 保存力のH
保存力のHは
H = T + V = K + U = E
(同じ内容を表す文字を変えただけ)
一般化座標q_i = x
一般化運動量p_i = p
として式①,②より
dK/dp =  x(･) =  q(･)_i = ∂H/∂p_i  … ① → ①'
dU/dx = -p(･) = -p(･)_i = ∂H/∂q_i  … ② → ②'
 
 
■ 解析力学の例
▼ 重力による位置エネルギーのH
K = (1/2)mv² = p²/(2m)
U = mgx
より
p_i = (p, 0, 0) , q_i = (x, 0, 0)
T = p²/(2m)
V = mgx
H = T + V = p²/(2m) + mgx
 
q(･) = x(･) = ∂H/∂p = (∂/∂p){p²/(2m) + mgx} = p/m
v = x(･) = p/m
 
p(･) = -∂H/∂q = -(∂/∂x){p²/(2m) + mgx} = -mg
F = p(･) = -mg
 
▼ 等速円運動(直交座標系)
角速度ω , 半径r = √(x²+y²)
(x , y ) = (rcosωt, rsinωt)
(v_x, v_y) = (d/dt)(x , y ) = (-ωrsinωt, ωrcosωt) = (-ωy, ωx)
(a_x, a_y) = (d/dt)(v_x, v_y) = (-ω²rcosωt, -ω²rsinωt) = (-ω²x, -ω²y)
v = √(v_x² + v_y²) = rω
a = √(a_x² + a_y²) = rω² 
 
F = ma = -m√(a_x² + a_y²) = -mrω² , U = -∫₀^r(-mrω²)dr = (1/2)mω²r² 
H = T + V = p²/(2m) + (1/2)mω²r² 
 
q_i = (x , y) , p_i = (p_x, p_y) , p = √(p_x² + p_y²)
 
q(･)₁ = x(･) = v_x = ∂H/∂p₁ = (∂/∂p_x){(p_x² + p_y²)/(2m) + (1/2)mω²r² 
= p_x/m
q(･)₂ = y(･) = v_y = ∂H/∂p₂ = (∂/∂p_y){(p_x² + p_y²)/(2m) + (1/2)mω²r² 
= p_y/m
 
v = √(v_x² + v_y²) = √(p_x² + p_y²)/m = p/m
 
p(･)₁ = p(･)_x = mv(･)_x = ma_x = F_x = -∂H/∂q₁ 
=-(∂/∂x){p²/(2m) + (1/2)mω²(x² + y²)} = -mω²x
p(･)₂ = p(･)_y = mv(･)_y = ma_y = F_y = -∂H/∂q₂ 
=-(∂/∂y){p²/(2m) + (1/2)mω²(x² + y²)} = -mω²y
 
F = √(F_x² + F_y²) = -mω²√(x² + y²) = -mrω² = -mv²/r  … (向心力)
 
▼ 等速円運動(極座標系)
q_i = (r, rθ)
p_i = (0, p)
 
q(･)₁ = r(･) = v_r = ∂H/∂p₁ = (∂/∂0){p²/(2m) + (1/2)mω²r²} = 0
q(･)₂ = rθ(･) = v_θ = ∂H/∂p₂ = (∂/∂p){p/(2m) + (1/2)mω²r² = p/m
v = p/m
 
p(･)₁ = 0 = mv(･)_r = ma_r = F_r = -∂H/∂q₁ 
= -(∂/∂r){p²/(2m) + (1/2)mω²r²} = -mω²r
p(･)₂ = p(･) = mv(･)_θ = ma_θ = F_θ = -∂H/∂q₂ 
= -(∂/∂rθ){p²/(2m) + (1/2)mω²r²} = 0
F = -mrω² = -mv²/r  … (向心力)
 
▼ 単振動
H = T + V = K + U = p²/(2m) + (1/2)kx² 
q(･)₁ =  = v = ∂H/∂p₁ = (∂/∂p){p²/(2m) + (1/2)kx²} = p/m
 
p(･)₁ = p(･) = mv(･) = ma = F = -∂H/∂q₁ 
= -(∂/∂x){p²/(2m) + (1/2)kx²} = -kx  … (x軸の負の方向)
 
角振動数ω
F = ma = = ma_x = -mω²x = -kx  ⇒  mω² = k より ω = √(k/m)
x = rcosωt
 
p(･) = ma = F = -kx = -mω²x = -mω²rcosωt
a = -ω²rcosωt
 
v = -∫(ω²rcosωt)dt = -ωrsinωt + C
t = 0 → v = 0 より C = 0
v = -ωrsinωt