スケール変換 (1回目)

2026/4/4(土)
スケール変換 (1回目)
 
 
■ スケール変換
▼ 定義
t   :時間
r(t):位置ベクトル
v(t):速度ベクトル
a(t):加速度ベクトル
 
座標軸をα倍に時間軸をβ倍に
座標変換(スケール変換、スケーリング理論)後は
'付きで表す
 
r'(t') = αr(t), t' = βt
とすると
r'(t') = αr(t) = αr(β^-1t')
 
▼ 速度と加速度のスケール変換
v'(t') = (d/dt')r'(t') = (d/dβt)αr(t)
= (α/β)(d/dt)r(t)
a'(t') = (d²/dt'²)r'(t') = (d²/(dβt)²)αr(t)
= (α/β²)(d²/dt²)r(t)
よって
v'(t') = (α/β)v(t)
a'(t') = (α/β²)a(t)
ここで
β = α^k と置くと
α/β = αα^-k = α^1-k 
α/β² = αα^-2k = α^1-2k 
よって
r'(t') = αr(t) = αr(α^-kt'),  t' = α^kt
v'(t') = α^1-kv(t)
a'(t') = α^1-2ka(t)
 
▼ 万有引力の不変性を保ったスケール変換
G:重力定数
M:質量大
m:質量小
F:万有引力ベクトル
位置ベクトルの単位ベクトルをe = r/|r|と置くと
F = (GMm/|r|²)e = GMmr/|r|³ 
F = |F| = √(F･F) = GMm√{(r･r)/|r|⁶} = GMm√(|r|²/|r|⁶)
= GMm/r² 
 
a'(t') = F/m = GMr'(t')/|r'(t')|³ = GMαr(t)/|αr(t)|³ 
= GMα^-2r(t)/|r(t)|³ = α^1-2ka(t)
より
-2 = 1-2k , 2k = 1+2 = 3
k = 3/2
を
r'(t') = αr(t), t' = α^kt
v'(t') = α^1-kv(t)
a'(t') = α^1-2ka(t)
に代入
r'(t') = αr(t), t' = α^3/2t
v'(t') = α^-1/2v(t)
a'(t') = α^-2a(t)
 
つまり
距離をα倍すると、時間はα^3/2倍、速度はα^-1/2倍
加速度はα^-2倍になる
 
楕円軌道の軌道長半径aを2倍にすると
周期Tは2^3/2倍(2√2倍)になる
 
aをα²倍すると、Tはα³倍
T²/a³ = 一定
 
▼ 地上での重力の不変性を保ったスケール変換
g:重力加速度ベクトル
m:質量小
F:力ベクトル
U:ポテンシャル(位置)エネルギー
 
F = mg , U = mgh , U(r) = mg|r|
 
a'(t') = F/m = g = a(t) = α^1-2ka(t)
より
0 = 1-2k , 2k = 1
k = 1/2
を
r'(t') = αr(t), t' = α^kt
v'(t') = α^1-kv(t)
a'(t') = α^1-2ka(t)
に代入
r'(t') = αr(t), t' = α^1/2t
v'(t') = α^1/2v(t)
a'(t') = α⁰a(t)
 
つまり
距離をα倍すると、時間はα^1/2倍、速度はα^1/2倍
加速度はα⁰倍になる
 
自由落下で高さhを2倍にすると
落下時間はtは2^1/2倍(√2倍)になる
 
投げ上げで高さhを2倍にすると
戻ってくるまでの時間tは2^1/2倍(√2倍)
初速度v₀は2^1/2倍(√2倍)になる
 
h = v₀t - (1/2)gt² 
(√2)v₀(√2)t - (1/2)g{(√2)t}² 
= 2{v₀t - (1/2)gt²}
= 2h
 
 
■ 結果
▼ 定義
t   :時間
r(t):位置ベクトル
v(t):速度ベクトル
a(t):加速度ベクトル
 
▼ スケール変換
r'(t') = αr(t) = αr(α^-kt') , t' = α^kt
v'(t') = α^1-kv(t)
a'(t') = α^1-2ka(t)
 
▼ 万有引力
G:重力定数
M:質量大
m:質量小
F:万有引力ベクトル
 
F = GMmr/|r|³ 
r'(t') = αr(t), t' = α^3/2t
v'(t') = α^-1/2v(t)
a'(t') = α^-2a(t)
 
距離をα倍すると、時間はα^3/2倍、速度はα^-1/2倍
加速度はα^-2倍になる
 
楕円軌道の軌道長半径aを2倍にすると
周期Tは2^3/2倍(2√2倍)になる
T²/a³ = 一定
 
▼ 地上での重力
g:重力加速度ベクトル
m:質量
F:力ベクトル
 
F = mg 
r'(t') = αr(t), t' = α^1/2t
v'(t') = α^1/2v(t)
a'(t') = α⁰a(t)
 
距離をα倍すると、時間はα^1/2倍、速度はα^1/2倍
加速度はα⁰倍になる
 
自由落下で高さhを2倍にすると
落下時間はtは2^1/2倍(√2倍)になる
 
投げ上げで高さhを2倍にすると
戻ってくるまでの時間tは2^1/2倍(√2倍)
初速度v₀は2^1/2倍(√2倍)になる