スケール変換 (2回目)

2026/4/11(土)
スケール変換 (2回目)
 
 
■ 前回
▼ 定義
t   :時間
r(t):位置ベクトル
v(t):速度ベクトル
a(t):加速度ベクトル
 
▼ スケール変換
r'(t') = αr(t) = αr(α^-kt') , t' = α^kt
v'(t') = α^1-kv(t)
a'(t') = α^1-2ka(t)
 
▼ 万有引力
G:重力定数
M:質量大
m:質量小
F:万有引力ベクトル
F = GMmr/|r|³ 
r'(t') = αr(t), t' = α^3/2t
v'(t') = α^-1/2v(t)
a'(t') = α^-2a(t)
距離をα倍すると、時間はα^3/2倍、速度はα^-1/2倍
加速度はα^-2倍になる
 
▼ 地上での重力
g:重力加速度ベクトル
m:質量
F:力ベクトル
F = mg 
r'(t') = αr(t), t' = α^1/2t
v'(t') = α^1/2v(t)
a'(t') = α⁰a(t)
距離をα倍すると、時間はα^1/2倍、速度はα^1/2倍
加速度はα⁰倍になる
 
 
■ 疑問
▼ 問題
万有引力(宇宙)と重力(地上)の違い
軌道長半径a(距離)を2倍すると周期T(時間)は2√2倍
高さh(距離)を2倍すると落下時間t(時間)は√2倍
同じ物理法則下で距離を2倍した時の時間のスケールが
2倍も異なるのはなぜか?
 
▼ 考察
万有引力は距離の2乗に反比例するので
距離が離れると速度は遅くなり時間もよりかかる
地上での重力は距離に関係なく一定としているので
距離が離れても速度に影響なく時間もそれほど伸びない
 
地球の半径をR、地上からの高さをhとすると
(R+h)/R ⋍ 1なので
hを2倍にしても万有引力のときの距離は2倍より小さく
更に重力を距離に関係なく一定と近似している
影響と思われる
 
▼ おまけ
万有引力から地上の重力へ
V(r):ポテンシャル(位置)エネルギー(万有引力)
U(h):ポテンシャル(位置)エネルギー(地上の重力)
 
F = GMmr/|r|³ 
F = |F| = √(F･F) = GMm√(|r|²/|r|⁶) = GMm/r² 
V(r) = ∫₀^r F dr = ∫₀^r GMm/r² dr = -GMm/r
V(r) = -GMm/|r|
 
r = R + h ⋍ Rを代入
F = GMm/r² = m(GM/R²) = mg
U(h) = V(R+h) - V(R) = mGM{-1/(R+h)+1/R}
= mGMh/{R(R+h)} ≒ m(GM/R²)h = mgh
よって
F = mg , F = mg 
U(h) = mgh , U(h) = m(g･h)