天体の軌道(Kepler) (2回目)
2021/10/11(月)
天体の軌道(Kepler) (2回目)
Keplerの第1法則(楕円軌道)を導きます
万有引力による運動から楕円軌道を導きます
万有引力による運動
Lz = mr2θ = const.
θ = Lz/mr2
運動エネルギーT = (1/2)mv2 = (m/2)|v|2
= (m/2)(vr2 + vθ2) = (m/2)(r2 + r2θ2)
= (m/2)[r2 + r2{Lz/(mr2)}2]
= (m/2)r2 + Lz2/(2mr2) ≧ 0
重力ポテンシャルV = -GMm/r ≦ 0
力学的エネルギーE = T + V
= (m/2)r2 + Lz2/(2mr2) - GMm/r
r2 = (2/m){E + GMm/r - Lz2/(2mr2)}
r = ±√[(2/m){E + GMm/r - Lz2/(2mr2)}]
ここで、
dr/dθ = (dr/dt)/(dθ/dt) = r/θ
= r/(Lz/mr2)
= ±(mr2/Lz)√[(2/m){E + GMm/r - Lz2/(2mr2)}]
= ±r2√[(m2/Lz2)(2/m){E + GMm/r - Lz2/(2mr2)}]
= ±r2√[(2m/Lz2){E + GMm/r - Lz2/(2mr2)}]
= ±r2√{2mE/Lz2 + 2GMm2/(rLz2) - 1/r2}
A = GMm2/Lz2 , B = 2mE/Lz2 , s = 1/r
ds/dr = -1/r2 , dr = -r2ds
dr/dθ = -r2ds/dθ = ±r2√(B + 2As - s2)
ds/dθ = ∓√{B + A2 - (s - A)2}
= ±√{B + A2 - (s - A)2}
u = s - A , du/ds = 1 , ds = du
ds/dθ = du/dθ = ±√{B + A2 - u2}
x = acost , dx/dt = -asint
∫{1/√(a2-x2)}dx
= ∫[-asint/√{a2(1-cos2t)}]dt
= ∫{-asint/√(a2sin2t)}dt
= -∫dt = -t + C = -Cos-1(x/a) + C
を使って両辺uで積分すると、
du/dθ = ±√{B + A2 - u2}
∫(dθ/du)du = ±∫[1/√{B + A2 - u2}]du
θ+C = ∓Cos-1{u/√(B + A2)}
∓(θ+C) = Cos-1{u/√(B + A2)}
cos{∓(θ+C)} = u/√(B + A2)
cos(θ+C) = u/√(B + A2)
= (s - A)/√(B + A2)
1/r = s = √(B + A2)cos(θ+C) + A
r = 1/{√(B + A2)cos(θ+C) + A}
= A-1/{1 + A-1√(B + A2)cos(θ+C)}
= A-1/{1 + √(1+BA-2)cos(θ+C)}
A = GMm2/Lz2 , B = 2mE/Lz2
ℓ = A-1 = Lz2/(GMm2) ≧ 0
e = √(1+BA-2)
= √[1+(2mE/Lz2){Lz4/(G2M2m4)}]
= √{1 + 2ELz2/(G2M2m3)} ≧ 0
と置くと、
r = ℓ/{1 + ecos(θ+C)}
最大値cos(0)の時rが最小になる
θ=0の時r最小とするとC=0
r = ℓ/(1 + ecosθ)
は楕円を表すのでKeplerの第1法則(楕円軌道)
が成り立つ
楕円に関しては
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/09/2.html
三角関数 (2回目)
を参照して下さい
まとめ
r = ℓ/(1 + ecosθ) [θ=真近点角]
ℓ = Lz2/(GMm2)
e = √{1 + 2ELz2/(G2M2m3)}
E = T + V (T ≧ 0 , V ≦ 0)
(楕)円軌道(E < 0)(0≦e＜1)
放物線軌道(E = 0)(e＝1)
双曲線軌道(E > 0)(e＞1)
となる。
E < 0は重力圏から脱出できない
E = 0は脱出した時点で停止
E > 0は脱出してから等速直線運動
軌道長半径a
半直弦ℓ = Lz2/(GMm2) = a(1-e2)
Lz2 = GMm2a(1-e2)
= GMm2a[1-{1 + 2ELz2/(G2M2m3)}]
= -2GMm2aELz2/(G2M2m3)
= -2aELz2/(GMm)
1 = -2aE/(GMm)
GMm = -2aE
E = -GMm/(2a)
(楕円a>0,放物線a=∞,双曲線a<0)
