N88-BASICで2次方程式 (2回目)
2021/10/6(水)
N88-BASICで2次方程式 (2回目)
2次方程式の解(複素数)を2次関数のグラフ
とy = 0との交点で表示
ただし
x,y∈C (x,yは複素数), a,b,c∈R (a,b,cは実数)
とします
i2=-1, √(-1)=iとして
複素数z = Re z + (Im z)i
Re zは複素数zの実部(Real)
Im zは複素数zの虚部(Image)
例
z = 1+2i ⇒ Re z = 1, Im z = 2
複素数2 + 0i = 2は実数
複素数0 + 2i = 2iは虚数
以後
R = Re x, I = Im x, Y = Re y
と置く事にします
座標軸を(横白,赤,縦白)で表示し
(Re x, Im x, Re y)=(R, I, Y)座標
の3次元表示とします
2次関数(放物線)は2次曲面(鞍みたいな形)
になります
グラフは(Re x, Im x, Re y)でIm yを
表示していないので分かりにいですが
2次方程式の解は2次曲面と(Re x, Im x)面
の交点ではありません
(Re x, Im x)面はRe y = 0であってy = 0
ではないからです
(Re x, Im x, Re y)=(R, I, Y)座標では
直線Y = 0, I = 0 … R軸(横白)
直線Y = 0, R = -b/(2a) … 紫(赤I軸と平行)
の2直線と2次曲面の交点が解になります
理由は以下で説明しています
x = R + Iiなので
y = ax2 + bx + c
= a(R+Ii)2 + b(R+Ii) + c
= a(R2+2RIi-I2) + bR+bIi + c
= a(R2-I2) + bR + c + I(2aR+b)i
Re y = a(R2-I2) + bR + c
Im y = I(2aR+b)
となります
ここでy = 0(Re y = 0, Im y = 0)
となる条件を見ていきます
Im y = 0となるのは
I = 0または2aR+b = 0 ⇒ R = -b/(2a)
なので
Re y = 0, I = 0または
Re y = 0, R = -b/(2a)
の時y = 0になります
よって解は
2次曲面Re y = Re (ax2 + bx + c)と
直線Re y = 0, I = 0の交点の
R(Re x)座標(実数解)
または
2次曲面Re y = Re (ax2 + bx + c)と
直線Re y = 0, R = -b/(2a)の交点の
R-I(Re x, Re y)座標(複素数解)
となります
Im y座標を描いていないので
ちょっと複雑になっています
I ＝ 0の時(実数解)
Re y = a(R2-I2) + bR + c
= aR2 + bR + c = 0より
R = { -b±√(b2-4ac) } / (2a)
I ≠ 0の時(複素数解)
2aR+b = 0または変形したR = -b/(2a)
をyに代入
a(R2-I2) + bR + c + I(2aR+b)i
= b2/(4a) - aI2 - b2/(2a) + c = 0
I2 = b2/(4a2) - 2b2/(4a2) + 4ac/(4a2)
= (-b2 + 4ac)/(2a)2
I = ±√{-(b2 - 4ac)}/(2a)
x = R + Ii
= [ -b±√{-(b2 - 4ac)}i ] / (2a)
= { -b±√(-D)i } / (2a)
となります(D=b2-4acは判別式)
判別式
D>0の時、実数解2個
D=0の時、実数解1個(重解)
D<0の時、複素数解(b=0なら虚数解)2個
です
回転行列については、このブログの
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/06/n88-basicmatrix-1.html
N88-BASICで行列(matrix) (1回目)～
を参照して下さい
2次方程式の解(複素数)を2次関数のグラフ
とy = 0との交点で表示
ただし
x,y∈C (x,yは複素数), a,b,c∈R (a,b,cは実数)
とします
i2=-1, √(-1)=iとして
複素数z = Re z + (Im z)i
Re zは複素数zの実部(Real)
Im zは複素数zの虚部(Image)
例
z = 1+2i ⇒ Re z = 1, Im z = 2
複素数2 + 0i = 2は実数
複素数0 + 2i = 2iは虚数
以後
R = Re x, I = Im x, Y = Re y
と置く事にします
座標軸を(横白,赤,縦白)で表示し
(Re x, Im x, Re y)=(R, I, Y)座標
の3次元表示とします
2次関数(放物線)は2次曲面(鞍みたいな形)
になります
グラフは(Re x, Im x, Re y)でIm yを
表示していないので分かりにいですが
2次方程式の解は2次曲面と(Re x, Im x)面
の交点ではありません
(Re x, Im x)面はRe y = 0であってy = 0
ではないからです
(Re x, Im x, Re y)=(R, I, Y)座標では
直線Y = 0, I = 0 … R軸(横白)
直線Y = 0, R = -b/(2a) … 紫(赤I軸と平行)
の2直線と2次曲面の交点が解になります
理由は以下で説明しています
x = R + Iiなので
y = ax2 + bx + c
= a(R+Ii)2 + b(R+Ii) + c
= a(R2+2RIi-I2) + bR+bIi + c
= a(R2-I2) + bR + c + I(2aR+b)i
Re y = a(R2-I2) + bR + c
Im y = I(2aR+b)
となります
ここでy = 0(Re y = 0, Im y = 0)
となる条件を見ていきます
Im y = 0となるのは
I = 0または2aR+b = 0 ⇒ R = -b/(2a)
なので
Re y = 0, I = 0または
Re y = 0, R = -b/(2a)
の時y = 0になります
よって解は
2次曲面Re y = Re (ax2 + bx + c)と
直線Re y = 0, I = 0の交点の
R(Re x)座標(実数解)
または
2次曲面Re y = Re (ax2 + bx + c)と
直線Re y = 0, R = -b/(2a)の交点の
R-I(Re x, Re y)座標(複素数解)
となります
Im y座標を描いていないので
ちょっと複雑になっています
I ＝ 0の時(実数解)
Re y = a(R2-I2) + bR + c
= aR2 + bR + c = 0より
R = { -b±√(b2-4ac) } / (2a)
I ≠ 0の時(複素数解)
2aR+b = 0または変形したR = -b/(2a)
をyに代入
a(R2-I2) + bR + c + I(2aR+b)i
= b2/(4a) - aI2 - b2/(2a) + c = 0
I2 = b2/(4a2) - 2b2/(4a2) + 4ac/(4a2)
= (-b2 + 4ac)/(2a)2
I = ±√{-(b2 - 4ac)}/(2a)
x = R + Ii
= [ -b±√{-(b2 - 4ac)}i ] / (2a)
= { -b±√(-D)i } / (2a)
となります(D=b2-4acは判別式)
判別式
D>0の時、実数解2個
D=0の時、実数解1個(重解)
D<0の時、複素数解(b=0なら虚数解)2個
です
回転行列については、このブログの
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/06/n88-basicmatrix-1.html
N88-BASICで行列(matrix) (1回目)～
を参照して下さい
NL-BASICとblg～.zip(quad002.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい
