N88-BASICでn乗の解 (2回目)

2021/10/3(日)

N88-BASICでn乗の解 (2回目)
 
xⁿ = a (n∈N, Nは自然数)の解
 
x = R + Ii = r(cosθ + isinθ)
を複素平面(実軸, 虚軸)上の点
x(R, I) = x(rcosθ, rsinθ)
として表示します
 
cosθ + isinθ = (a + 0i)/|a| = ±1
となるθは
kを整数としてθ=2πk+p(+1 ⇒ p=0, -1 ⇒ p=π)
の時なので(r > 0)として
x = r{cos((2πk+p)/n) + isin((2πk+p)/n)}なら
xⁿ = rⁿ{cos(2πk+p) + isin(2πk+p)} = ±rⁿ
xⁿ = ±rⁿ = aより
r = |a|^1/n [ = ⁿ√a (aのn乗根)]
よって
xⁿ = aの解は
x = r{cos((2πk+p)/n) + isin((2πk+p)/n)}
　= |a|^1/n{cos((2πk+p)/n) + isin((2πk+p)/n)}
　(k = 0～n-1の整数)
 
例
x³ = aの解は
 
ω=cos(2/3)π + isin(2/3)π = {-1+√(3)i}/2
と置くと
ω²=cos(4/3)π + isin(4/3)π = {-1-√(3)i}/2
 
x = a^1/3ω⁰,a^1/3ω¹,a^1/3ω² 
　= a^1/3, a^1/3{-1+√(3)i}/2, a^1/3{-1-√(3)i}/2
です
 
プログラムでは複素平面(実部,虚部)上の点
として解を表示しています
絶対値がEより小さければ0と判断しています
(0なのに誤差で0にならない時があるため)
 

 

NL-BASICとblg～.zip(pow002.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい