N88-BASICで二項分布 (5回目)
2021/11/13(土)
N88-BASICで二項分布 (5回目)
100円玉n枚と500円玉m枚を同時に投げた時
それぞれの表の数をx, yとすると
x < y, x = y, x > y となる確率を求める
ただし、n≦mとする
(n＞mの時は硬貨を入替えれば良いため)
---------------------------------------------
x = yの確率を考える
---------------------------------------------
各硬貨は独立試行なので表の数x, yは
二項分布B(n, 1/2),B(m, 1/2)に従うので
100円玉の表の数がx枚になる確率は
nCx･px･qn-x (p=1-q=1/2) = nCx･(1/2)n
500円玉の表の数がy枚になる確率は
mCy･(1/2)m
よって
(1/2)n+m･Σ(nCi･mCi) (i = 0～n)
となる
(i = n+1～mの時はx=yとならないので確率は0)
---------------------------------------------
x > yの確率を考える
---------------------------------------------
(1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内y=0～x-1)(外x=1～n)
= (1/2)n+m･Σ(nCx･ΣmCy) (内y=0～x-1)(外x=1～n)
となる
(x=0の時はx>yとならない)
---------------------------------------------
x < yの確率を考える
---------------------------------------------
(1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内x=0～n)(外y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～n)(外y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･Σ(mCy･2n) (y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)m･ΣmCy (y=n+1～m)
(y=0の時はx<yとならない)
この式は、y > nの時は、必ずx < yになるため
つまり(1/2)n･ΣnCx (x=0～n) = 1より
500円玉のみ考えれば良い事を表している
---------------------------------------------
シミュレーションと計算
---------------------------------------------
範囲を
0≦n≦m≦200
としていますが適当です
大きいとシミュレーションよりも
計算に時間がかかりますので
小さい値で実行するのが
良いかと思います
NL-BASICとblg～.zip(bino005.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
N88-BASICで二項分布 (5回目)
100円玉n枚と500円玉m枚を同時に投げた時
それぞれの表の数をx, yとすると
x < y, x = y, x > y となる確率を求める
ただし、n≦mとする
(n＞mの時は硬貨を入替えれば良いため)
---------------------------------------------
x = yの確率を考える
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各硬貨は独立試行なので表の数x, yは
二項分布B(n, 1/2),B(m, 1/2)に従うので
100円玉の表の数がx枚になる確率は
nCx･px･qn-x (p=1-q=1/2) = nCx･(1/2)n
500円玉の表の数がy枚になる確率は
mCy･(1/2)m
よって
(1/2)n+m･Σ(nCi･mCi) (i = 0～n)
となる
(i = n+1～mの時はx=yとならないので確率は0)
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x > yの確率を考える
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(1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内y=0～x-1)(外x=1～n)
= (1/2)n+m･Σ(nCx･ΣmCy) (内y=0～x-1)(外x=1～n)
となる
(x=0の時はx>yとならない)
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x < yの確率を考える
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(1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･ΣΣ(nCx･mCy) (内x=0～n)(外y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～n)(外y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)n+m･Σ(mCy･2n) (y=n+1～m)
= (1/2)n+m･Σ(mCy･ΣnCx) (内x=0～y-1)(外y=1～n)
+ (1/2)m･ΣmCy (y=n+1～m)
(y=0の時はx<yとならない)
この式は、y > nの時は、必ずx < yになるため
つまり(1/2)n･ΣnCx (x=0～n) = 1より
500円玉のみ考えれば良い事を表している
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シミュレーションと計算
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範囲を
0≦n≦m≦200
としていますが適当です
大きいとシミュレーションよりも
計算に時間がかかりますので
小さい値で実行するのが
良いかと思います
NL-BASICとblg～.zip(bino005.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
