N88-BASICで標準偏差
2021/11/8(月)
N88-BASICで標準偏差
標準偏差σ(Standard deviation)とは
分散V(平均からの差の2乗の平均)
の平方根、つまり
平均からの差(正の値)の平均の目安に
なる値です
これを使って偏差値を計算します
偏差値(Deviation value)とは
平均m = 期待値E(Z) = 50
標準偏差σ = σ(Z) = 10
になるように変換したZの値です
n人のテストの点数X = xi(i=1～n)
だったとすると
平均m = E(X) = (1/n)Σxi(i=1～n)
(n人の合計をnで割る)
分散V(X) = (1/n)Σ(xi-m)2(i=1～n)
(平均からの差の2乗の平均)
標準偏差σ = σ(X) = √V(X)
(平均からの差の2乗の平均の平方根
なので、平均からの差の平均の様な
ものです)
このXを偏差値Zに変換します
Z = 10{X - E(X)}/σ(X) + 50
自分のテストの点の
平均からの差X - E(X)は
自分が平均点の時0になります
(平均m=0になりました)
これを標準偏差σ(X)で割った値
{X - E(X)}/σ(X)は
自分が平均から、差の平均だけ
高かった時1になります
(標準偏差σ=1になりました)
これを10倍した
10{X - E(X)}/σ(X)
は標準偏差σ=10になります
これに50を足した
Z = 10{X - E(X)}/σ(X) + 50
は標準偏差σ=10,平均m=50に
なり、Zは偏差値を表します
偏差値50は平均点、
偏差値60と40は平均点から、
差の平均程離れた点数
偏差値70と30は平均点から、
差の平均の2倍程離れた点数
です
X(又はZ)の分布が正規分布に従う時
N(m, σ2)と書きます
正規分布は平均が一番多く左右対称で
平均から離れるほど少なくなります
身長など人為的でないものの
分布は正規分布に従う場合が多いですが
体重やテストの点など人為的なものの
分布は正規分布に従わない場合が多い
ようです
正規分布に従う場合はm±σ
(偏差値の場合40～60)の範囲に
全体の約68.3%(標準正規分布表より)
が入りますが
テストの点数はあまり正規分布に従わない
ので偏差値40～60の人数が全体の約68.3%
であるかどうかは分からないようです
テストの場合、平均付近が1番多い事もない
ことも左右対称でもないこともあります
よってテストの偏差値は平均からどの位
離れいてるかの目安であり、
偏差値だけでは、全体の何%に入るかは
分からない様です
点数から偏差値を計算します
例
10人のテストの点が
100, 80, 60, 40, 40, 30, 20, 20, 10, 0
の時、
m = E(X)
= (100+80+60+40+40+30+20+20+10+0)/10
= 400/10 = 40
V(X) = {(100-40)2+(80-40)2+(60-40)2
+(40-40)2+(40-40)2+(30-40)2+(20-40)2
+(20-40)2+(10-40)2+(0-40)2}/10
= (3600+1600+400+0+0+100+400+400+900+1600)
/10 = 9000/10 = 900
σ(X) = √V(X) = √900 = 30
平均40、標準偏差30
(40±30=70点と10点が平均から、差の平均程
離れている点数になります)
このテストの100点の偏差値は70
[10(100-40)/30 + 50 = 20 + 50 = 70]
このテストの40点の偏差値は50
[10(40-40)/30 + 50 = 0 + 50 = 50]
このテストの10点の偏差値は40
[10(10-40)/30 + 50 = -10 + 50 = 40]
です
分散V(X) = (1/n)Σ(xi-m)2(i=1～n)
= (1/n)Σ(xi2-2mxi+m2)
= (1/n)Σxi2 - (1/n)Σ2mxi + (1/n)Σm2
= (1/n)Σxi2 - 2m(1/n)Σxi + m2
= (1/n)Σxi2 - 2mm + m2
= (1/n)Σxi2 - m2
(2乗の平均から平均の2乗を引く)
でも求める事ができます
NL-BASICとblg～.zip(devi001.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
N88-BASICで標準偏差
標準偏差σ(Standard deviation)とは
分散V(平均からの差の2乗の平均)
の平方根、つまり
平均からの差(正の値)の平均の目安に
なる値です
これを使って偏差値を計算します
偏差値(Deviation value)とは
平均m = 期待値E(Z) = 50
標準偏差σ = σ(Z) = 10
になるように変換したZの値です
n人のテストの点数X = xi(i=1～n)
だったとすると
平均m = E(X) = (1/n)Σxi(i=1～n)
(n人の合計をnで割る)
分散V(X) = (1/n)Σ(xi-m)2(i=1～n)
(平均からの差の2乗の平均)
標準偏差σ = σ(X) = √V(X)
(平均からの差の2乗の平均の平方根
なので、平均からの差の平均の様な
ものです)
このXを偏差値Zに変換します
Z = 10{X - E(X)}/σ(X) + 50
自分のテストの点の
平均からの差X - E(X)は
自分が平均点の時0になります
(平均m=0になりました)
これを標準偏差σ(X)で割った値
{X - E(X)}/σ(X)は
自分が平均から、差の平均だけ
高かった時1になります
(標準偏差σ=1になりました)
これを10倍した
10{X - E(X)}/σ(X)
は標準偏差σ=10になります
これに50を足した
Z = 10{X - E(X)}/σ(X) + 50
は標準偏差σ=10,平均m=50に
なり、Zは偏差値を表します
偏差値50は平均点、
偏差値60と40は平均点から、
差の平均程離れた点数
偏差値70と30は平均点から、
差の平均の2倍程離れた点数
です
X(又はZ)の分布が正規分布に従う時
N(m, σ2)と書きます
正規分布は平均が一番多く左右対称で
平均から離れるほど少なくなります
身長など人為的でないものの
分布は正規分布に従う場合が多いですが
体重やテストの点など人為的なものの
分布は正規分布に従わない場合が多い
ようです
正規分布に従う場合はm±σ
(偏差値の場合40～60)の範囲に
全体の約68.3%(標準正規分布表より)
が入りますが
テストの点数はあまり正規分布に従わない
ので偏差値40～60の人数が全体の約68.3%
であるかどうかは分からないようです
テストの場合、平均付近が1番多い事もない
ことも左右対称でもないこともあります
よってテストの偏差値は平均からどの位
離れいてるかの目安であり、
偏差値だけでは、全体の何%に入るかは
分からない様です
点数から偏差値を計算します
例
10人のテストの点が
100, 80, 60, 40, 40, 30, 20, 20, 10, 0
の時、
m = E(X)
= (100+80+60+40+40+30+20+20+10+0)/10
= 400/10 = 40
V(X) = {(100-40)2+(80-40)2+(60-40)2
+(40-40)2+(40-40)2+(30-40)2+(20-40)2
+(20-40)2+(10-40)2+(0-40)2}/10
= (3600+1600+400+0+0+100+400+400+900+1600)
/10 = 9000/10 = 900
σ(X) = √V(X) = √900 = 30
平均40、標準偏差30
(40±30=70点と10点が平均から、差の平均程
離れている点数になります)
このテストの100点の偏差値は70
[10(100-40)/30 + 50 = 20 + 50 = 70]
このテストの40点の偏差値は50
[10(40-40)/30 + 50 = 0 + 50 = 50]
このテストの10点の偏差値は40
[10(10-40)/30 + 50 = -10 + 50 = 40]
です
分散V(X) = (1/n)Σ(xi-m)2(i=1～n)
= (1/n)Σ(xi2-2mxi+m2)
= (1/n)Σxi2 - (1/n)Σ2mxi + (1/n)Σm2
= (1/n)Σxi2 - 2m(1/n)Σxi + m2
= (1/n)Σxi2 - 2mm + m2
= (1/n)Σxi2 - m2
(2乗の平均から平均の2乗を引く)
でも求める事ができます
NL-BASICとblg～.zip(devi001.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます
