N88-BASICでベルトランのパラドックス (1回目)

2021/12/1(水)
N88-BASICでベルトランのパラドックス (1回目)

(Bertrand paradox)
 
円の弦を1本無作為に選び、その長さが、
円に内接する正三角形の辺より長い確率は?
 
弦の選び方で確率が変わるという問題だそうです
(確率1/2,1/3,1/4など)
 

図1
半径r=1の円の場合、正三角形の一辺はa=√3となる
aは直角三角形の辺の比
r : a/2 = 2r : a = 2: a = 2 : √3より
a = √3 になります
 
ここで一様分布(偏りのない分布)した弦を考えると
その弦の傾き(0°～360°未満)も一様分布しているので
代表で傾き0°の弦のみを考えれば良いことになります
以下、
半径1の円の水平な弦が√3より大きい確率
を考察します
 
考察1

図2.円周上に一様分布する2点を通る弦
 
図2の様な場合を考えると
図1より、中心から右半円上の点までの角度が30°
の時、弦の長さが√3になるので、0～90°中
0～30°が1/3、30°～90°が2/3の割合なので
この場合の確率は1/3になります
 
しかし、中心近くが疎で一様分布になっていないので
この方法で弦を選ぶのは間違いだと思われます
 
考察2
 
図1で、円の中心から下半円周に垂直に伸ばした
線分上の一様な点を通る水平な弦を考えると
図2の様な疎密にならないので一様分布と言える
 
弦の長さが√3(図中のa)になるのは
中心から1/2(図中のr/2)の距離の点を通る時なので
確率は1/2となる
 
どうやら、1/2が正しそうです
(ただし、この場合も問題点があるかもしれません)
 
考察3
実際に円上にシャーペンの芯などを投げる場合を
考えると芯の長さによって確率が変わるように
思えます
そこで、以下の問題を考えて見ます
 
単位円に長さL＞0の線を投げて弦ができた条件で
その弦が円に内接する正三角形の辺√3より長い確率は?
 
線の中心をP(x,y)とすると
線で弦ができる点Pの範囲は
 
2√{1-(1/2)²} = √3
0＜L≦√3の時M = 1/2
√3＜L＜2の時M = √{1-(L/2)²}
L≧2の時M = 0
M≦|y|≦1
0≦√(1-y²)≦√(1-M²)
K = -√(1-y²) + L/2, K≧0
-K≦x≦K
となる

図のaは
a = L/2 - 1
単位円の面積はπ
上半分の更に下半分は
θ=30°の扇2つと底辺√3高さ1/2の
三角形で2(30π/360)+√(3)/4
= π/6 + √(3)/4
上半分の更に上半分は
θ=120°の扇から上記の三角形を引いた
120π/360-√(3)/4
= π/3 - √(3)/4
 
円中心付近の高さ2Mの部分の面積をS₀と
すると
S₀ = 2ML - [4Tan^-1{M/√(1-M²)}/2 + 2M√(1-M²)]
= 2[ML - [Tan^-1{M/√(1-M²)} + M√(1-M²)]]
 
図のS₁,S₂の面積は
S₁ = 2{2(a+1)(1/2) - (π/6 + √(3)/4)} - S₀ 
　= L -  π/3 - √(3)/2 - S₀ 
S₂ = 2{2(a+1)(1/2) - (π/3 - √(3)/4)}
　= L - 2π/3 + √(3)/2
S = S₁ + S₂ = 2L - π - S₀ 
S₁に点Pが入れば弦は長くなり
S₂に点Pが入れば弦は短くなる
よって、長くなる確率Pは
P = S₁/S
　= {L-π/3-√(3)/2-S₀}/(2L-π-S₀)
　= [1/2-{π/3+√(3)/2+S₀}/(2L)]/[1-{(π+S₀)/(2L)]
S₀ = 2[Tan^-1{M/√(1-M²)} + M√(1-M²)]
 
0＜L＜2の時M = √{1-(L/2)²}
L≧2の時M = 0
となる
 
まとめ
P = [1/2-{π/3+√(3)/2+S₀}/(2L)]/[1-{(π+S₀)/(2L)]
S₀ = 2[Tan^-1{M/√(1-M²)} + M√(1-M²)]
0＜L≦√3の時M = 1/
√3＜L＜2の時M = √{1-(L/2)²}
L≧2の時M = 0
Lを長くしていくとP = 1/2 (L→∞)
に収束する
L ≦ √3の時はP = 0 (√3より大きい弦は作れない)
 
円の半径R、線の長さL'の確率は
円の半径1、線の長さL = L'/Rの
確率と同じです
 
計算例
L = 2の時は
P = [1/2 - {π/6 + √(3)/4}/L] / {1 - (π/2)/L}
　= [1/2 - {π/12 + √(3)/8}] / (1 - π/4)
　= (12 - 2π - 3√3) / (24 - 6π)
　≒(12-6.28-3・1.73)/(24-18.84)
　= (12-6.28-5.19)/5.16 = (12-11.47)/5.16
　= 0.53/5.16 = 0.102…
　≒0.10
 
NL-BASICとblg～.zip(bert001.bas)は
このブログ(以下のリンク)から
ダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい