N88-BASICで斜方投射 (1回目)

2022/4/14(木)
N88-BASICで斜方投射 (1回目)
 
ニュートンの運動方程式
F = ma = mdv/dt = md²x/dt² 
より
a = dv/dt = d²x/dt² 
(距離の時間微分が速度
速度の微分が加速度)
 
a = const.(一定)として
 
v = ∫adt = at + C
(t = 0の時をv = v₀とするとC = v₀)
v = v₀ + at
 
x = ∫(v₀ + at)dt = v₀t + (1/2)at² + C
(t = 0の時をx = x₀とするとC = 0)
x = x₀ + v₀t + (1/2)at² 
 
この式を使って
初速度v₀角度θつまり
初速度 = |(v₀cosθ, v₀sinθ)| = v₀
で高さhから斜方投射した時の飛距離
(水平距離)を計算する
 
上を正とすると垂直方向の
加速度a = -g(重力加速度g)
 
着地までの時間は
0 = h + v₀sinθ･t - (1/2)gt² 
gt² - 2v₀sinθ･t - 2h = 0
t = {v₀sinθ±√(v₀²sin²θ + 2gh)}/g
t ≧ 0で考えて
t = {v₀sinθ+√(v₀²sin²θ + 2gh)}/g
 
水平方向の加速度はa = 0
2cosθsinθ = sin2θ
飛距離は
x = v₀cosθ･t
= v₀cosθ{v₀sinθ+√(v₀²sin²θ + 2gh)}/g
= (v₀²/g)cosθ{sinθ+√(sin²θ + 2gh/v₀²)}
 
ここで
a = v₀²/g = const.(一定)
k = 2gh/v₀² = const.(一定)
w = cosθ{sinθ+√(sin²θ + k)}
と置くと
x = aw
なので、wを最大とすればよい
 
θ-wグラフ(投射角と飛距離のグラフ)は
0<θ<90°とすると上に凸となるグラフで
あると予測できるので
接線の傾きが0の時xが最大となると思われる
 
接線の傾きdw/dθ
= -sinθ{sinθ + √(sin²θ + k)}
+ cosθ{cosθ + 2sinθcosθ･(1/2)
/ √(sin²θ + k)}
= {cos²θ√(sin²θ + k) + sinθcos²θ
- sin²θ√(sin²θ + k) - sin³θ - ksinθ}
/ √(sin²θ + k)
= [(cos²θ- sin²θ){√(sin²θ + k) + sinθ}
- ksinθ] / √(sin²θ + k)
=[(1 - 2sin²θ){√(sin²θ + k) + sinθ}
- ksinθ] / √(sin²θ + k)
 
√(sin²θ + k) ≠ 0つまり
sin²θ + k ≠ 0という条件で
z = sinθと置いて
(1 - 2z²){√(z² + k) + z} - kz = 0
を解けば良い
 
(1 - 2z²){√(z² + k) + z}{√(z² + k) - z}
= kz{√(z² + k) - z}
(1 - 2z²)(z² + k - z²) = kz{√(z² + k) - z}
1 - 2z² = z√(z² + k) - z² 
1 - z² = z√(z² + k)
(1 - z²)² = z²(z² + k)
1 - 2z² + z⁴ = z⁴ + kz² 
(k + 2)z² = 1
z² = 1/(k + 2)
 
sin²θ = 1/(k + 2)
cos²θ = 1 - sin²θ = 1 - 1/(k + 2)
= (k + 2 - 1)/(k + 2) = (k + 1)/(k + 2)
tan²θ = cos²θ/sin²θ
= {1/(k + 2)}/{(k + 1)/(k + 2)}
= 1/(k + 1)
tanθ = 1/√(k + 1)の時のθが
最大飛距離の角度θ₁となる
θ₁ = Tan^-1{1/√(k + 1)}
(k ≧ -1、sin²θ + k ≠ 0)
 
2gh/v₀² + 1 > 0より
h > -v₀² / (2g)と
h ≠ -v₀²sin²θ₁ / (2g)は
-v₀²sin²θ₁ / (2g) ≧ -v₀² / (2g)より
h > -v₀²sin²θ₁ / (2g)で満たされる

 
0² - (v₀sinθ₁)² = 2ax = -2g(h+h₁)なので最高地点は
h₁ = h + v₀²sin²θ₁/(2g)
  

結果
 
最大飛距離の角度
θ₁ = Tan^-1{1/√(2gh/v₀² + 1)}
[h < -v₀sin²θ₁ / (2g)の時はボールが届かない]
 
滞空時間
t = {v₀sinθ+√(v₀²sin²θ + 2gh)}/g
飛距離
x = (v₀²/g)cosθ{sinθ+√(sin²θ + 2gh/v₀²)}
 
NL-BASICとblg～.zip(throw001.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com
Readme.txtを読んで遊んで下さい