N88-BASICで回転楕円体 (1回目)

2022/10/10(月)
N88-BASICで回転楕円体 (1回目)
 
回転楕円体面(フットボール形)(長半径a,短半径b)
x²/a² + y²/b² = 1をx軸で回転
x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1
について
 
楕円体の体積
 
https://ulprojectmail.blogspot.com/2021/08/vl-basic-1.html
VL-BASICで結晶格子 (1回目)
より半径rの球の体積は(4/3)πr³　
 
なので半径1の球(単位球)の体積は(4/3)π
 
径a,b,cの楕円体は単位球をa,b,c方向に
それぞれa,b,c倍にしたものなので体積は
(4/3)πabc
となる
 
回転楕円体面(長半径a,短半径b)
x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1
で囲まれた体積は
(4/3)πab² 
となる
 
 
球の表面積
 
半径rの球の体積を半径の関数V(r)とすると
V(r) = (4/3)πr³　
V-rグラフの傾きはrの増加に対するVの
増加分なので半径rでの表面積を表して
いるのでVをrで微分して傾きを求めると
球の表面積S = (d/dr)V(r) = 4πr²　
 
 
回転体の表面積S
y = f(x) [x=a～b]
をx軸周りに回させると
x～x+dx間のyの変化をdyとし
斜辺の長さは√(dx²+dy²)
= √{1+(dy/dx)²} dx = √(1+y'²) dx
これに円周の長さを掛けて
2πy√(1+y'²) dxを
x～x+dx間の表面積の近似とすると
S = 2π∫y√(1+y'²) dx [x=a～b]
= 2π∫√{y²+(yy')²} dx [x=a～b]
 
 
楕円体面の表面積S
S = 2πb{(a²/c)tan^-1(c/b) + b}
焦点距離c = √(a²-b²) (a＞b)
を求める
 
楕円x²/a² + y²/b² = 1
をx軸周りに回転させて
楕円体を作ると考える
 
焦点距離c = √|a²-b²|
c² = a²-b² (a＞b)
c² = b²-a² (a＜b)
 
回転体の半径yは
x²/a² + y²/b² = 1より
y = f(x) = √{b²(1 - x²/a²)}
y² = b²(1 - x²/a²)
 
y' = f'(x)とし
x²/a² + y²/b² = 1の両辺をxで微分すると
2x/a² + 2yy'/b² = 0
yy' = -b²x/a² 
(yy')² = b⁴x²/a⁴ 
 
y²+(yy')² = b²(1 - x²/a²) + b⁴x²/a⁴ 
= b²(1 - x²/a² + b²x²/a⁴)
= b²{1 - (a² - b²)(x²/a⁴)}
y²+(yy')² = b²(1 - c²x²/a⁴) (a＞b)
y²+(yy')² = b²(1 + c²x²/a⁴) (a＜b)
 
S = 2π∫√{y²+(yy')²} dx [x=-a～a]
= 4π∫√{y²+(yy')²} dx [x=0～a]
= 4πb∫√(1 - c²x²/a⁴) dx [x=0～a] (a＞b)
 
ここで、
cx/a² = sinθと置くと
x = (a²/c)sinθ、θ= sin^-1(cx/a²)
dx/dθ = (a²/c)cosθ、dx = (a²/c)cosθ dθ
 
sin 0 = 0より
x = 0のとき、θ₀= sin^-1(0) = 0
x = aのとき、θ_a= sin^-1(c/a)
sinθ_a = c/a
 
c² = a²-b² (a＞b)より
cosθ_a = √(1 - sin²θ_a) = √(1 - c²/a²)
= √{(a² - c²)/a²} = √(b²/a²) = b/a
 
S = 4πb∫√(1 - c²x²/a⁴) dx [x=0～a]
= 4πb∫√(1 - sin²θ)(a²/c)cosθ dθ [θ=0～θ_a]
= 4π(a²b/c)∫cos²θ dθ [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)∫(1 + cos 2θ) dθ [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)[θ + (1/2)sin2θ] [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)[θ + sinθcosθ] [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c){(θ_a + sinθ_acosθ_a)
- (0 + sin 0 cos 0)}
= 2π(a²b/c){(sin^-1(c/a) + (c/a)(b/a))
- (0 + 0･cos 0)}
= 2π{(a²b/c)sin^-1(c/a) + b²}
= 2πb{(a²/c)sin^-1(c/a) + b}
 
θ = sin^-1(c/a)と置くと
c/a = sinθ
cosθ = √(1-sin²θ) = √(1-c²/a²)
= √(a²-c²) / a = b/a [ c² = a²-b² (a＞b)より ]
tanθ = sinθ/cosθ = (c/a)/(b/a) = c/b
θ = tan^-1(c/b)
 
S = 2πb{(a²/c)tan^-1(c/b) + b}
 
 
三角関数
cos²θ+sin²θ = 1
1 - sin²θ = cos²θ
 
sin2θ = sinθcosθ+cosθsinθ = 2sinθcosθ
 
cos2θ = cosθcosθ - sinθsinθ
= cos²θ - sin²θ = cos²θ - (1 - cos²θ)
= 2cos²θ - 1
2cos²θ = 1 + cos2θ
 
{(1/2)sin2θ}' = cos2θ
 
 
N88-BASIC互換?VL,NL,XL-BASICと
blg～.zip(sphe001.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com

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