N88-BASICで回転楕円体 (2回目)

2022/10/12(水)
N88-BASICで回転楕円体 (2回目)
 
扁平回転楕円体面(短半径a,長半径b)
x²/a² + y²/b² = 1をx軸で回転
x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1
について
 
前回
https://ulprojectmail.blogspot.com/2022/10/n88-basicspheroid-1.html
N88-BASICで回転楕円体 (1回目)
より
 
扁平回転楕円体面(短半径a,長半径b)
x²/a² + y²/b² + z²/b² = 1
で囲まれた体積は
(4/3)πab² 
となる
 
扁平楕円体面の表面積S
S = 2πb{(a²/c)ln{(b+c)/a} + b}
焦点距離c = √(b²-a²) (a＜b)
を求める
 
楕円x²/a² + y²/b² = 1
をx軸周りに回転させて
楕円体を作ると考える
 
焦点距離c = √|a²-b²|
c² = a²-b² (a＞b)
c² = b²-a² (a＜b)
 
回転体の半径yは
x²/a² + y²/b² = 1より
y = f(x) = √{b²(1 - x²/a²)}
y² = b²(1 - x²/a²)
 
y' = f'(x)とし
x²/a² + y²/b² = 1の両辺をxで微分すると
2x/a² + 2yy'/b² = 0
yy' = -b²x/a² 
(yy')² = b⁴x²/a⁴ 
 
y²+(yy')² = b²(1 - x²/a²) + b⁴x²/a⁴ 
= b²(1 - x²/a² + b²x²/a⁴)
= b²{1 - (a² - b²)(x²/a⁴)}
y²+(yy')² = b²(1 - c²x²/a⁴) (a＞b)
y²+(yy')² = b²(1 + c²x²/a⁴) (a＜b)
 
S = 2π∫√{y²+(yy')²} dx [x=-a～a]
= 4π∫√{y²+(yy')²} dx [x=0～a]
= 4πb∫√(1 + c²x²/a⁴) dx [x=0～a] (a＜b)
 
ここで、
cx/a² = sinhθと置くと
x = (a²/c)sinhθ、θ= sinh^-1(cx/a²)
dx/dθ = (a²/c)coshθ、dx = (a²/c)coshθ dθ
 
sinh 0 = -isin i0 = 0より
x = 0のとき、θ₀= sinh^-1(0) = 0
x = aのとき、θ_a= sinh^-1(c/a)
sinhθ_a = c/a
 
c² = b²-a² (a＜b)より
coshθ_a = √(1 + sinh²θ_a) = √(1 + c²/a²)
= √{(a² + c²)/a²} = √(b²/a²) = b/a
 
S = 4πb∫√(1 + c²x²/a⁴) dx [x=0～a]
= 4πb∫√(1 + sinh²θ)(a²/c)coshθ dθ [θ=0～θ_a]
= 4π(a²b/c)∫cosh²θ dθ [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)∫(1 + cosh 2θ) dθ [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)[θ + (1/2)sinh2θ] [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c)[θ + sinhθcoshθ] [θ=0～θ_a]
= 2π(a²b/c){(θ_a + sinhθ_acoshθ_a)
- (0 + sinh 0 cosh 0)}
= 2π(a²b/c){(sinh^-1(c/a) + (c/a)(b/a))
- (0 + 0･cosh 0)}
= 2π{(a²b/c)sinh^-1(c/a) + b²}
 
x = c/aと置くと、c² = b²-a² (a＜b)より
x² + 1 = c²/a² + a²/a² = b²/a² 
sinh^-1(x) = ln{x + √(x² + 1)}より
sinh^-1(c/a) = ln(c/a + b/a)
= ln(c/a + b/a) = ln{(b+c)/a}
 
S = 2π{(a²b/c)sinh^-1(c/a) + b²}
= 2πb{(a²/c)ln{(b+c)/a} + b}
 
双曲線関数
sinhθ = (e^θ-e^-θ)/2 = -isin iθ
coshθ = (e^θ+e^-θ)/2 = 　cos iθ
tanhθ = sinhθ/coshθ
 
(sinhθ)' = (-isin iθ)' = cos iθ = coshθ
(coshθ)' = (cos iθ)' = -isin iθ = sinhθ
cosh²θ-sinh²θ = cos²iθ-(-sin²iθ) = 1
1 + sinh²θ = cosh²θ
 
sinh2θ = -isin i2θ
= -i(sin iθ cos iθ + cos iθ sin iθ)
= -2i sin iθ cos iθ = 2sinhθcoshθ
 
cosh2θ = cos i2θ
= cos iθ cos iθ - sin iθ sin iθ
= cos²iθ - (1 - cos²iθ) = 2cos²iθ - 1
= 2cosh²θ - 1
2cosh²θ = cosh2θ + 1
 
(sinh2θ)' = 2cosh2θ
 
x = sinhθ = (e^θ-e^-θ)/2
e^θ - e^-θ - 2x = 0  (e^θを掛ける)
(e^θ)² - 2xe^θ - 1 = 0
e^θ = x±√(x² + 1)
e^θ ≧ 0、x ＜ √(x² + 1)より
e^θ = x + √(x² + 1)
θ = ln{x + √(x² + 1)} = sinh^-1(x)
 
 
N88-BASIC互換?VL,NL,XL-BASICと
blg～.zip(sphe002.bas)は
以下のリンクからダウンロードできます

https://ulprojectmail.blogspot.com

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