極座標 (2回目)

2023/6/10(土)
極座標 (2回目)
 
ラプラシアン(Laplacian)Δ = ∇² = ∇･∇
の導出
 
■ 導出
▼ ラプラシアンΔ = ∇² = ∇･∇
ナブラ
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
 
ラプラシアン△
∇² = ∇･∇ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= (∂/∂x)² + (∂/∂y)² + (∂/∂z)² 
 
= {(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)} ² 
+ {(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)} ² 
+ {(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)} ² 
 
 
= {(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂r /∂x)(∂/∂r )}
+ {(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂r /∂y)(∂/∂r )}
+ {(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂r /∂z)(∂/∂r )}
 
+ {(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂x)(∂/∂θ)}
+ {(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂y)(∂/∂θ)}
+ {(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂z)(∂/∂θ)}
 
+ {(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
+ {(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
+ {(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
 
= {第1項} + {第2項} + {第3項}
 
 
▼ 第1項の1項
{(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂r/∂x)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂x)(∂/∂r ){(∂r/∂x)(∂/∂r)}
+ (∂θ/∂x)(∂/∂θ){(∂r/∂x)(∂/∂r)}
+ (∂φ/∂x)(∂/∂φ){(∂r/∂x)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂x)
[(∂r/∂x)(∂²/∂r²)+{(∂/∂r )(∂r/∂x)}(∂/∂r)]
+ (∂θ/∂x)
[(∂r/∂x)(∂²/∂θ∂r)+{(∂/∂θ)(∂r/∂x)}(∂/∂r)]
+ (∂φ/∂x)
{(∂r/∂x)(∂²/∂φ∂r)+{(∂/∂φ)(∂r/∂x)}(∂/∂r)]
 
= sinθcosφ
[sinθcosφ(∂²/∂r²)+{(∂/∂r )sinθcosφ}(∂/∂r)]
+ cosθcosφ/r
[sinθcosφ(∂²/∂θ∂r)+{(∂/∂θ)sinθcosφ}(∂/∂r)]
- sinφ/(rsinθ)
[sinθcosφ(∂²/∂φ∂r)+{(∂/∂φ)sinθcosφ}(∂/∂r)]
 
= sinθcosφ{sinθcosφ(∂²/∂r²)}
+ cosθcosφ/r
{sinθcosφ(∂²/∂θ∂r) + cosθcosφ(∂/∂r)}
- sinφ/(rsinθ)
{sinθcosφ(∂²/∂φ∂r) - sinθsinφ(∂/∂r)}
 
= sin²θcos²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂θ∂r)
+ cos²θcos²φ/r(∂/∂r) - sinφcosφ/r(∂/∂φ∂r)
+ sin²φ/r(∂/∂r)
 
= sin²θcos²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂θ∂r)
- sinφcosφ/r(∂²/∂φ∂r)
+ (cos²θcos²φ+sin²φ)/r(∂/∂r)
 
 
▼ 第1項の2項
(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂r/∂y)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂y)(∂/∂r ){(∂r/∂y)(∂/∂r)}
+ (∂θ/∂y)(∂/∂θ){(∂r/∂y)(∂/∂r)}
+ (∂φ/∂y)(∂/∂φ){(∂r/∂y)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂y)
[(∂r/∂y)(∂²/∂r²)+{(∂/∂r )(∂r/∂y)}(∂/∂r)]
+ (∂θ/∂y)
[(∂r/∂y)(∂/∂θ∂r)+{(∂/∂θ)(∂r/∂y)}(∂/∂r)]
+ (∂φ/∂y)
{(∂r/∂y)(∂/∂φ∂r)+{(∂/∂φ)(∂r/∂y)}(∂/∂r)]
 
= sinθsinφ
[sinθsinφ(∂²/∂r²)+{(∂/∂r )sinθsinφ}(∂/∂r)]
+ cosθsinφ/r
[sinθsinφ(∂²/∂θ∂r)+{(∂/∂θ)sinθsinφ}(∂/∂r)]
+ cosφ/(rsinθ)
{sinθsinφ(∂²/∂φ∂r)+{(∂/∂φ)sinθsinφ}(∂/∂r)]
 
= sinθsinφ{sinθsinφ(∂²/∂r²)}
+ cosθsinφ/r
{sinθsinφ(∂²/∂θ∂r) + cosθsinφ(∂/∂r)}
+ cosφ/(rsinθ)
{sinθsinφ(∂²/∂φ∂r) + sinθcosφ(∂/∂r)}
 
= sin²θsin²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂θ∂r)
+ cos²θsin²φ/r(∂/∂r) + sinφcosφ/r(∂²/∂φ∂r)
+ cos²φ/r(∂/∂r)
 
= sin²θsin²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂θ∂r)
+ sinφcosφ/r(∂²/∂φ∂r)
+ (cos²θsin²φ+cos²φ)/r(∂/∂r)
 
 
▼ 第1項の3項
(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂r/∂z)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂z)(∂/∂r ){(∂r/∂z)(∂/∂r)}
+ (∂θ/∂z)(∂/∂θ){(∂r/∂z)(∂/∂r)}
+ (∂φ/∂z)(∂/∂φ){(∂r/∂z)(∂/∂r)}
 
= (∂r /∂z)
[(∂r/∂z)(∂²/∂r²)+{(∂/∂r )(∂r/∂z)}(∂/∂r)]
+ (∂θ/∂z)
[(∂r/∂z)(∂²/∂θ∂r)+{(∂/∂θ)(∂r/∂z)}(∂/∂r)]
+ (∂φ/∂z)
{(∂r/∂z)(∂²/∂φ∂r)+{(∂/∂φ)(∂r/∂z)}(∂/∂r)]
 
= cosθ
[cosθ(∂²/∂r²) + {(∂/∂r )cosθ}(∂/∂r)]
- sinθ/r
[cosθ(∂²/∂θ∂r) + {(∂/∂θ)cosθ}(∂/∂r)]
+ 0
{cosθ(∂²/∂φ∂r) + {(∂/∂φ)cosθ}(∂/∂r)]
 
= cosθ{cosθ(∂²/∂r²)}
- sinθ/r{cosθ(∂²/∂θ∂r) - sinθ(∂/∂r)}
 
= cos²θ(∂²/∂r²) - sinθcosθ/r(∂²/∂θ∂r)
+ sin²θ/r(∂/∂r)
 
 
▼ 第1項
　sin²θcos²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂θ∂r)
- sinφcosφ/r(∂²/∂φ∂r)
+ (cos²θcos²φ+sin²φ)/r(∂/∂r)
+ sin²θsin²φ(∂²/∂r²) + sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂θ∂r)
+ sinφcosφ/r(∂²/∂φ∂r)
+ (cos²θsin²φ+cos²φ)/r(∂/∂r)
+ cos²θ(∂²/∂r²) - sinθcosθ/r(∂²/∂θ∂r)
+ sin²θ/r(∂/∂r)
 
= (sin²θcos²φ+sin²θsin²φ+cos²θ)(∂²/∂r²)
+ (sinθcosθcos²φ+sinθcosθsin²φ-sinθcosθ)/r
(∂²/∂θ∂r)
+ (-sinφcosφ+sinφcosφ)/r(∂²/∂φ∂r)
+ (cos²θcos²φ+sin²φ+cos²θsin²φ+cos²φ+sin²θ)/r
(∂/∂r)
 
= (∂²/∂r²)+2/r(∂/∂r)
 
 
▼ 第2項の1項
{(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂x)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂x)(∂/∂r ){(∂θ/∂x)(∂/∂θ)}
+ (∂θ/∂x)(∂/∂θ){(∂θ/∂x)(∂/∂θ)}
+ (∂φ/∂x)(∂/∂φ){(∂θ/∂x)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂x)
[(∂θ/∂x)(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )(∂θ/∂x)}(∂/∂θ)]
+ (∂θ/∂x)
[(∂θ/∂x)(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)(∂θ/∂x)}(∂/∂θ)]
+ (∂φ/∂x)
[(∂θ/∂x)(∂²/∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)(∂θ/∂x)}(∂/∂θ)]
 
= sinθcosφ
[cosθcosφ/r(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )cosθcosφ/r}(∂/∂θ)]
+ cosθcosφ/r
[cosθcosφ/r(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)cosθcosφ/r}(∂/∂θ)]
- sinφ/(rsinθ)
[cosθcosφ/r(∂²/∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)cosθcosφ/r}(∂/∂θ)]
 
= sinθcosφ
{cosθcosφ/r(∂²/∂r∂θ)-cosθcosφ/r²(∂/∂θ)}
+ cosθcosφ/r
{cosθcosφ/r(∂²/∂θ²)-sinθcosφ/r(∂/∂θ)}
- sinφ/(rsinθ)
{cosθcosφ/r(∂²/∂φ∂θ)-cosθsinφ/r(∂/∂θ)}
 
= sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂r∂θ)
- sinθcosθcos²φ/r²(∂/∂θ)
+ cos²θcos²φ/r²(∂²/∂θ²)
- sinθcosθcos²φ/r²(∂/∂θ)
- cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ cosθsin²φ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
= cos²θcos²φ/r²(∂²/∂θ²)
+ sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂r∂θ)
- cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ (sin²φ-2sin²θcos²φ)cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
 
▼ 第2項の2項
{(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂y)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂y)(∂/∂r ){(∂θ/∂y)(∂/∂θ)}
+ (∂θ/∂y)(∂/∂θ){(∂θ/∂y)(∂/∂θ)}
+ (∂φ/∂y)(∂/∂φ){(∂θ/∂y)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂y)
[(∂θ/∂y)(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )(∂θ/∂y)}(∂/∂θ)]
+ (∂θ/∂y)
[(∂θ/∂y)(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)(∂θ/∂y)}(∂/∂θ)]
+ (∂φ/∂y)
[(∂θ/∂y)(∂²/∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)(∂θ/∂y)}(∂/∂θ)]
 
= sinθsinφ
[cosθsinφ/r(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )cosθsinφ/r}(∂/∂θ)]
+ cosθsinφ/r
[cosθsinφ/r(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)cosθsinφ/r}(∂/∂θ)]
+ cosφ/(rsinθ)
[cosθsinφ/r(∂/²∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)cosθsinφ/r}(∂/∂θ)]
 
= sinθsinφ
{cosθsinφ/r(∂²/∂r∂θ)-cosθsinφ/r²(∂/∂θ)}
+ cosθsinφ/r
{cosθsinφ/r(∂²/∂θ²)-sinθsinφ/r(∂/∂θ)}
+ cosφ/(rsinθ)
{cosθsinφ/r(∂²/∂φ∂θ)+cosθcosφ/r(∂/∂θ)}
 
= sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂r∂θ)
- sinθcosθsin²φ/r²(∂/∂θ)}
+ cos²θsin²φ/r²(∂²/∂θ²)
- sinθcosθsin²φ/r²(∂/∂θ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ cosθcos²φ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
= cos²θsin²φ/r²(∂²/∂θ²)
+ sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂r∂θ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ (cos²φ-2sin²θsin²φ)cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
 
▼ 第2項の3項
{(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂θ/∂z)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂z)(∂/∂r ){(∂θ/∂z)(∂/∂θ)}
+ (∂θ/∂z)(∂/∂θ){(∂θ/∂z)(∂/∂θ)}
+ (∂φ/∂z)(∂/∂φ){(∂θ/∂z)(∂/∂θ)}
 
= (∂r /∂z)
[(∂θ/∂z)(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )(∂θ/∂z)}(∂/∂θ)]
+ (∂θ/∂z)
[(∂θ/∂z)(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)(∂θ/∂z)}(∂/∂θ)]
+ (∂φ/∂z)
[(∂θ/∂z)(∂²/∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)(∂θ/∂z)}(∂/∂θ)]
 
= cosθ
[-sinθ/r(∂²/∂r∂θ)+{(∂/∂r )-sinθ/r}(∂/∂θ)]
- sinθ/r
[-sinθ/r(∂²/∂θ²)+{(∂/∂θ)-sinθ/r}(∂/∂θ)]
+ 0
[-sinθ/r(∂²/∂φ∂θ)+{(∂/∂φ)-sinθ/r}(∂/∂θ)]
 
= cosθ{-sinθ/r(∂²/∂r∂θ)+sinθ/r²(∂/∂θ)}
- sinθ/r{-sinθ/r(∂²/∂θ²)-cosθ/r(∂/∂θ)}
 
= -sinθcosθ/r(∂²/∂r∂θ) + sinθcosθ/r²(∂/∂θ)
+ sin²θ/r²(∂²/∂θ²) + sinθcosθ/r²(∂/∂θ)
 
= sin²θ/r²(∂²/∂θ²) - sinθcosθ/r(∂²/∂r∂θ)
+ 2sinθcosθ/r²(∂/∂θ)
 
 
▼ 第2項
　cos²θcos²φ/r²(∂²/∂θ²)
+ sinθcosθcos²φ/r(∂²/∂r∂θ)
- cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ (sin²φ-2sin²θcos²φ)cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
+ cos²θsin²φ/r²(∂²/∂θ²)
+ sinθcosθsin²φ/r(∂²/∂r∂θ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂φ∂θ)
+ (cos²φ-2sin²θsin²φ)cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
+ sin²θ/r²(∂²/∂θ²) - sinθcosθ/r(∂²/∂r∂θ)
+ 2sinθcosθ/r²(∂/∂θ)
 
= (cos²θcos²φ+cos²θsin²φ+sin²θ)/r²(∂²/∂θ²)
+ (sinθcosθcos²φ+sinθcosθsin²φ-sinθcosθ)/r
(∂²/∂r∂θ)
+ (sin²φ-2sin²θcos²φ+cos²φ-2sin²θsin²φ+2sin²θ)
cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
= 1/r²(∂²/∂θ²) + cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
 
 
▼ 第3項の1項
{(∂r/∂x)(∂/∂r)+(∂θ/∂x)(∂/∂θ)+(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂x)(∂/∂r ){(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
 
+ (∂θ/∂x)(∂/∂θ){(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
+ (∂φ/∂x)(∂/∂φ){(∂φ/∂x)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂x)
[(∂φ/∂x)(∂²/∂r∂φ)+{(∂/∂r)(∂φ/∂x)}(∂/∂φ)]
+ (∂θ/∂x)
[(∂φ/∂x)(∂²/∂θ∂φ)+{(∂/∂θ)(∂φ/∂x)}(∂/∂φ)]
+ (∂φ/∂x)
[(∂φ/∂x)(∂²/∂φ²)+{(∂/∂φ)(∂φ/∂x)}(∂/∂φ)]
 
= sinθcosφ
[-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂r∂φ)-{(∂/∂r)sinφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
+ cosθcosφ/r
[-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂θ∂φ)-{(∂/∂θ)sinφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
- sinφ/(rsinθ)
[-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂φ²)-{(∂/∂φ)sinφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
 
= sinθcosφ
{-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂r∂φ)+sinφ/(r²sinθ)(∂/∂φ)}
+ cosθcosφ/r
{-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂θ∂φ)+cosθsinφ/(rsin²θ)(∂/∂φ)}
- sinφ/(rsinθ)
{-sinφ/(rsinθ)(∂²/∂φ²)-cosφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
 
= -cosφsinφ/r(∂²/∂r∂φ)
+ sinφcosφ/r²(∂/∂φ)
- cosθcosφsinφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
+ cos²θsinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
+ sin²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
+ sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
= sin²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
- cosφsinφ/r(∂²/∂r∂φ)
- cosθcosφsinφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
+ (sin²θsinφcosφ+cos²θsinφcosφ+sinφcosφ)
/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
= sin²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
- cosφsinφ/r(∂²/∂r∂φ)
- cosθcosφsinφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
+ 2sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
 
▼ 第3項の2項
{(∂r/∂y)(∂/∂r)+(∂θ/∂y)(∂/∂θ)+(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂y)(∂/∂r ){(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
 
+ (∂θ/∂y)(∂/∂θ){(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
+ (∂φ/∂y)(∂/∂φ){(∂φ/∂y)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂y)
[(∂φ/∂y)(∂²/∂r∂φ)+{(∂/∂r)(∂φ/∂y)}(∂/∂φ)]
+ (∂θ/∂y)
[(∂φ/∂y)(∂²/∂θ∂φ)+{(∂/∂θ)(∂φ/∂y)}(∂/∂φ)]
+ (∂φ/∂y)
[(∂φ/∂y)(∂²/∂φ²)+{(∂/∂φ)(∂φ/∂y)}(∂/∂φ)]
 
= sinθsinφ
[cosφ/(rsinθ)(∂²/∂r∂φ)+{(∂/∂r)cosφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
+ cosθsinφ/r
[cosφ/(rsinθ)(∂²/∂θ∂φ)+{(∂/∂θ)cosφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
+ cosφ/(rsinθ)
[cosφ/(rsinθ)(∂²/∂φ²)+{(∂/∂φ)cosφ/(rsinθ)}(∂/∂φ)]
 
= sinθsinφ
{cosφ/(rsinθ)(∂²/∂r∂φ)-cosφ/(r²sinθ)(∂/∂φ)}
+ cosθsinφ/r
{cosφ/(rsinθ)(∂²/∂θ∂φ)-cosθcosφ/(rsin²θ)(∂/∂φ)}
+ cosφ/(rsinθ)
{cosφ/(rsinθ)(∂²/∂φ²)-sinφ/(rsinθ)(∂/∂φ)}
 
= sinφcosφ/r(∂²/∂r∂φ)
- sinφcosφ/r²(∂/∂φ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
- cos²θsinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
+ cos²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
- sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
= cos²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
+ sinφcosφ/r(∂²/∂r∂φ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
- (sin²θ+cos²θ+1)sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
 
▼ 第3項の3項
{(∂r/∂z)(∂/∂r)+(∂θ/∂z)(∂/∂θ)+(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
{(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂z)(∂/∂r ){(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
 
+ (∂θ/∂z)(∂/∂θ){(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
+ (∂φ/∂z)(∂/∂φ){(∂φ/∂z)(∂/∂φ)}
 
= (∂r /∂z)
[(∂φ/∂z)(∂²/∂r∂φ)+{(∂/∂r)(∂φ/∂z)}(∂/∂φ)]
+ (∂θ/∂z)
[(∂φ/∂z)(∂²/∂θ∂φ)+{(∂/∂θ)(∂φ/∂z)}(∂/∂φ)]
+ (∂φ/∂z)
[(∂φ/∂z)(∂²/∂φ²)+{(∂/∂φ)(∂φ/∂z)}(∂/∂φ)]
 
= cosθ[0(∂²/∂r∂φ)+{(∂/∂r)0}(∂/∂φ)]
- sinθ/r[0(∂²/∂θ∂φ)+{(∂/∂θ)0}(∂/∂φ)]
+ 0[0(∂²/∂φ²)+{(∂/∂φ)0}(∂/∂φ)]
 
= 0
 
 
▼ 第3項
　sin²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
- cosφsinφ/r(∂²/∂r∂φ)
- cosθcosφsinφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
+ 2sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
+ cos²φ/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
+ sinφcosφ/r(∂²/∂r∂φ)
+ cosθsinφcosφ/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
- 2sinφcosφ/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
= (sin²φ+cos²φ)/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
+ (sinφcosφ-cosφsinφ)/r(∂²/∂r∂φ)
+ (cosθsinφcosφ-cosθcosφsinφ)/(r²sinθ)(∂²/∂θ∂φ)
+ 2(sinφcosφ-sinφcosφ)/(r²sin²θ)(∂/∂φ)
 
= 1/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
 
 
▼ ∇² = 第1項 + 第2項 + 第3項
∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= (∂²/∂r²)+2/r(∂/∂r)
+ 1/r²(∂²/∂θ²) + cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ)
+ 1/(r²sin²θ)(∂²/∂φ²)
を変形する
 
2/r(∂/∂r) + (∂²/∂r²)
= (1/r²){(2r)(∂/∂r) + r²(∂²/∂r²)}
= (1/r²){(∂/∂r)r²(∂/∂r) + r²(∂²/∂r²)}
= (1/r²){(∂/∂r)r²(∂/∂r) + r²(∂²/∂r²)}
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
 
cosθ/(r²sinθ)(∂/∂θ) + 1/r²(∂²/∂θ²)
= {1/(r²sinθ)}{cosθ(∂/∂θ) + sinθ(∂²/∂θ²)}
= {1/(r²sinθ)}
 
{(∂/∂θ)sinθ(∂/∂θ) + sinθ(∂²/∂θ²)}
= {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
 
を使って
 
∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)
 
 
■ 結果
▼ ラプラシアン∇² = △
ナブラ
∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)
 
ラプラシアン
∇² = ∇･∇ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)