量子力学 (6回目)

2023/6/17(土)
量子力学 (6回目)
 
(Quantum mechanics)
 
水素原子モデルのシュレディンガー方程式
と変数分離
(Hydrogen)
 
 
■ 定数など
q₁,q₂:電荷(C)
ε₀:真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)}
r:電荷間距離
F(r) = {1/(4πε₀)}q₁q₂/r² (クーロン力)
Z  :原子番号(水素Z = 1)
e  :電子の電荷(C)
m_e :電子の質量(kg)
 
 
■ 導出
▼ クーロン力のポテンシャル
クーロン力
F(r) = {1/(4πε₀)}q₁q₂/r² 
クーロン力のポテンシャル
V(r) = ∫F(r)dr = {1/(4πε₀)}q₁q₂∫r^-2dr
= {1/(4πε₀)}q₁q₂(-1/r + C)
… V(∞) = 0よりC = 0
V(r) = -{1/(4πε₀)}q₁q₂/r
 
 
▼ 水素原子の電子のポテンシャル
k = 1/(4πε₀) … (N･m²/C²)
V(r) = -ke²/r … (or -kZe²/r)
 
 
▼ 水素原子のシュレディンガー方程式
[{-ℏ²/(2m_e)}∇² + V(x)]φ(x) = Eφ(x)
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/05/quantum-2.html
量子力学 (2回目)
 
∇² = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² + ∂²/∂z² 
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-2.html
極座標 (2回目)
 
R(r):動径関数
Y(θ,φ):球面調和関数
 
φ(x)をΨ(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ)に置換えて
[{-ℏ²/(2m_e)}∇² + V(r)]Ψ = EΨ
[{-ℏ²/(2m_e)}∇² + V(r)]RY = ERY
 
 
(∂/∂r)RY = Y(∂R/∂r) + R(∂Y/∂r) = Y(∂R/∂r)より
 
∇²RY
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}RY
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}RY
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)RY
 
= (Y/r²)(∂/∂r){r²(∂R/∂r)}
+ {R/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Y/∂θ)}
+ {R/(r²sin²θ)}(∂²Y/∂φ²)
 
{-ℏ²/(2m_e)}
[(Y/r²)(∂/∂r){r²(∂R/∂r)}
+ {R/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Y/∂θ)}
+ {R/(r²sin²θ)}(∂²Y/∂φ²)]
+ V(r)RY = ERY
 
-{-ℏ²/(2m_e)}[(Y/r²)(∂/∂r){r²(∂R/∂r)}]
- V(r)RY + ERY = {-ℏ²/(2m_e)}
[{R/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂Y/∂θ)}
+ {R/(r²sin²θ)}(∂²Y/∂φ²)]
 
両辺 2m_er²/RY 倍して
-(-ℏ²/R)(∂/∂r){r²(∂R/∂r)}
- 2m_er²V(r) + 2m_er²E =
(-ℏ²/Y)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Y/∂θ)}
+ (1/sin²θ)(∂²Y/∂φ²)] ≡ Λと置く
 
左辺-Λ=0を-R/(2m_er²)倍し∂をdに置換える
-(-ℏ²/R)(∂/∂r){r²(∂R/∂r)}
- 2m_er²V(r) + 2m_er²E - Λ
= {-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(dR/dr)}
+ V(r)R + ΛR/(2m_er²) - ER
= [{-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(d/dr)}
+ V(r) + Λ/(2m_er²) - E]R
より
[{-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(d/dr)}
+ V(r) + Λ/(2m_er²) - E]R = 0
 
右辺-Λ=0にY = ΘΦを代入
(-ℏ²/Y)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Y/∂θ)}
+ (1/sin²θ)(∂²Y/∂φ²)] - Λ
= (-ℏ²/ΘΦ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂ΘΦ/∂θ)}
+ (1/sin²θ)(∂²ΘΦ/∂φ²)] - Λ
= (-ℏ²/ΘΦ)[(1/sinθ)(∂/∂θ){Φsinθ(∂Θ/∂θ)}
+ Θ(1/sin²θ)(∂²Φ/∂φ²)] - Λ
= (-ℏ²/Θ)(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Θ/∂θ)}
+ (-ℏ²/Φ)(1/sin²θ)(∂²Φ/∂φ²) - Λ = 0
より
-[(-ℏ²/Θ)(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Θ/∂θ)}-Λ]
= (-ℏ²/Φ)(1/sin²θ)(∂²Φ/∂φ²) ≡ ν/sin²θと置く
 
-左辺+ν/sin²θ=0をΘ倍し∂をdに置換える
(-ℏ²/Θ)(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂Θ/∂θ)}-Λ
+ ν/sin²θ = 0
-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(dΘ/dθ)}
+ Θν/sin²θ - ΛΘ = 0
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ- Λ)]Θ = 0
 
 
右辺-ν/sin²θ=0をΦsin²θ倍し∂をdに置換える
(-ℏ²/Φ)(1/sin²θ)(∂²Φ/∂φ²) - ν/sin²θ = 0
-ℏ²(d²Φ/dφ²) - φν = 0
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}φ = 0
 
よって
R(r),Θ(θ),Φ(φ)のシュレディンガー方程式は
 
[{-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(d/dr)}
+ V(r) + Λ/(2m_er²) - E]R = 0
 
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ- Λ)]Θ = 0
 
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}φ = 0
 
 
■ 結果
▼ ポテンシャル
k = 1/(4πε₀) … (N･m²/C²)
V(r) = -ke²/r … (or -kZe²/r)
 
▼ 水素原子モデルのシュレディンガー方程式
R(r):動径関数
Y(θ,φ):球面調和関数
Ψ(r,θ,φ) = R(r)Y(θ,φ) = R(r)Θ(θ)Φ(φ)
ラプラシアン∇² 
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)
 
[{-ℏ²/(2m_e)}∇² + V(r)]Ψ = EΨ
 
▼ R(r),Θ(θ),Φ(φ)のシュレディンガー方程式
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}φ = 0
 
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ- Λ)]Θ = 0
 
[{-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(d/dr)}
+ V(r) + Λ/(2m_er²) - E]R = 0