量子力学 (7回目)

2023/6/25(日)
量子力学 (7回目)
 
(Quantum mechanics)
 
水素原子モデルのシュレディンガー方程式
Φ(φ)と Θ(θ)を解く

Y(θ,φ)=Φ(φ)Θ(θ):球面調和関数

■ 定数など
ε₀:真空中の誘電率(F/m) {(F)=(C/V)}
Z  :原子番号
e  :電子の電荷(C)
m_e :電子の質量(kg)
k = 1/(4πε₀) … (N･m²/C²)
V(r) = -ke²/r … (or -kZe²/r):ポテンシャル
 
 
■ 導出
▼ Φ(φ)を求める
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}Φ = 0
-ℏ²(d²Φ/dφ²) = νΦ
 
d²Φ/dφ² = (-ν/ℏ²)Φ
 
Φ(φ) = Aexp(imφ) + Bexp(-imφ)
と置くところだが逆方向の波も同じ事なので
簡単にするため
Φ(φ) = Aexp(imφ)
と置くと
d²Φ/dφ² = (im)²Aexp(imφ)
= (im)²Φ
 
(im)² = (-ν/ℏ²)
より
m = ±√(ν)/ℏ
ν = m²ℏ² より
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}Φ = 0 は
{-ℏ²(d²/dφ²) - (m²ℏ²)}Φ = 0
 
φは2πで一周するので
Φ(0) = Φ(2π)
と
Φ(φ) = Aexp(imφ) = A{cos(mφ)+isin(mφ)}
より
Φ(0) = A = Φ(2π) = A{cos(2πm)+isin(2πm)}
cos(2πm)+isin(2πm) = 1
なので
cos(2πm) = 1, isin(2πm) = 0
よってm∈Z
m = 0,±1,±2,… (m:磁気量子数)
 
{-ℏ²(d²/dφ²) - (m²ℏ²)}Φ = 0の解は
Φ(φ) = Aexp(imφ) … A:規格化定数
 
 
▼ Θ(θ)を求める
Λ = ℏ²λ、x = cosθと置き
dt/dθ = -sinθ
1/dθ = -sinθ/dx
sin²θ = 1-x² 
と
ν = m²ℏ² を代入
を
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ- Λ)]Θ = 0
に代入
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (m²ℏ²/sin²θ - ℏ²λ)]Θ = 0
 
(d/dx){sin²θ(dΘ/dx)} + (λ - m²/sin²θ)Θ = 0
 
(d/dx){(1-x²)(dΘ/dx)} + {λ - m²/(1-x²)}Θ = 0
 
Θ = x^ℓ + C_1-1x^ℓ-1 + … (C_i:定数)
と仮定
m = 0のとき
(d/dx){(1-x²)(dΘ/dx)} + λΘ = 0
として
最高次数x^ℓの係数は
(d/dx)(1-x²)(dΘ/dx)は
(d/dx){(1-x²)ℓx^ℓ-1} = (d/dx){ℓx^ℓ-1 - ℓx^ℓ+1}
= ℓ(ℓ-1)x^ℓ-2 - ℓ(ℓ+1)x^ℓ 
より
-ℓ(ℓ+1)x^ℓ + λx^ℓ = 0x^ℓ
-ℓ(ℓ+1) + λ = 0
λ = ℓ(ℓ+1)
を
(d/dx){(1-x²)(dΘ/dx)} + {λ - m²/(1-x²)}Θ = 0
に代入
 
(d/dx){(1-x²)(dΘ/dx)} + {ℓ(ℓ+1) - m²/(1-x²)}Θ = 0
 
ルジャンドルの陪微分方程式
(d/dx){(1-x²)(dy/dx)} + [n(n+1) – m²/(1-x²)]y = 0
の特殊解
ルジャンドルの陪多項式
P_n^m(x)
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(n-m)/2]}{{(-1)^r(2n-2r)!}
/ {2ⁿr!(n-r)!(n-2r-m)!}}x^n-2r-m 
= {1/(2ⁿn!)}(1-x²)^m/2(d^n+m/dx^n+m){(x²-1)ⁿ}
… ロドリゲスの公式
[0 ≦ m ≦ n, n∈Z]
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/differential-2.html
微分方程式 (2回目)
 
ルジャンドルの陪多項式
P_ℓ^m(x)
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(ℓ-m)/2]}{{(-1)^r(2ℓ-2r)!}
/ {2^ℓr!(ℓ-r)!(ℓ-2r-m)!}}x^ℓ-2r-m 
= {1/(2^ℓℓ!)}(1-x²)^m/2(d^ℓ+m/dx^ℓ+m){(x²-1)^ℓ}
… ロドリゲスの公式
x = cosθ
Θ(θ) = BP_ℓ^m(x)
[0 ≦ m ≦ ℓ, m,ℓ∈Z]
 
また
Λ = ℏ²λ
λ = ℓ(ℓ+1)
より
Λ = ℏ²ℓ(ℓ+1)
 
 
▼ 角運動量演算子(極座標表記)の2乗L² 
λ:波長(m)(m/回)
k :角波数(rad/m) [k = 2π/λ]
p :運動量(kg･m/s) [p = mv, p = h/λ = ℏk]
h :プランク定数(6.62607015×10^-34J･s)
ℏ :ディラック定数 [ℏ = h / (2π)]
∇ = ∂/∂x = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
p :運動量演算子
(上付き^で演算子を表すが今回は省略)
 
p = h/λ = ℏkよりk = p/ℏ
波動関数
Ψ(x,t) = Aexp{i(kx - ωt)}
を微分する
∂Ψ(x,t)/∂x = ikAexp{i(kx - ωt)}
= ikΨ(x,t) = (ip/ℏ)Ψ(x,t)
より
pΨ = ℏ/i(∂/∂x)Ψ
pΨ = -iℏ(∂/∂x)Ψ
 
三次元では
∇ = ∂/∂x = (∂/∂x,∂/∂y,∂/∂z)
pΨ = -iℏ∇Ψ
より
運動量演算子
p = -iℏ∇
 
 
角運動量演算子L 
p = -iℏ∇
r = (x, y, z)
L = r × p = r × (-iℏ∇) =
= -iℏ(r × ∇)
 
L² = L･L = |L|² = (-iℏ)²|r × ∇|² 
= -ℏ²|r × ∇|² 
 
|r × ∇|² =
(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}+(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/06/polar-3.html
極座標 (3回目)
 
L² = -ℏ²|r × ∇|² =
-ℏ²[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}+(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]
 
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}Φ = 0
(d²/dφ²)Φ = -(ν/ℏ²)Φ
d²/dφ² = -ν/ℏ² 
 
ν/sin²θ - Λ
= (ν/ℏ²)(ℏ²/sin²θ) - Λ
= -(ℏ²/sin²θ)d²/dφ² - Λ
 
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ - Λ)]Θ = 0
[-ℏ²[(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
-(1/sin²θ)d²/dφ²] - Λ]Θ = 0
(L² - Λ)Θ = 0
(L² - Λ)Y/Φ = 0
(L² - Λ)Y = 0
L²Y = ΛY
 
Λ = ℏ²ℓ(ℓ+1)より
 
L²Y = ℏ²ℓ(ℓ+1)Y
 
 
■ 結果
▼ 量子数
m:磁気量子数
ℓ:方位量子数(s,p,d,f,g,…)(角運動量量子数)
m = 0,±1,±2,…, (m∈Z)
|m| ≦ ℓ, (ℓ∈Z)
 
▼ R(r),Θ(θ),Φ(φ)のシュレディンガー方程式
{-ℏ²(d²/dφ²) - ν}φ = 0
 
[-ℏ²(1/sinθ)(d/dθ){sinθ(d/dθ)}
+ (ν/sin²θ- Λ)]Θ = 0
 
[{-ℏ²/(2m_e)}(1/r²)(d/dr){r²(d/dr)}
+ V(r) + Λ/(2m_er²) - E]R = 0
 
ν = m²ℏ² 
Λ = ℏ²ℓ(ℓ+1)
 
▼ Φ(φ),Θ(θ)
Φ(φ) = Aexp(imφ) … A:規格化定数
 
ルジャンドルの陪多項式
P_ℓ^m(x)
= (1-x²)^m/2Σ{r=0～[(ℓ-m)/2]}{{(-1)^r(2ℓ-2r)!}
/ {2^ℓr!(ℓ-r)!(ℓ-2r-m)!}}x^ℓ-2r-m 
= {1/(2^ℓℓ!)}(1-x²)^m/2(d^ℓ+m/dx^ℓ+m){(x²-1)^ℓ}
… ロドリゲスの公式
x = cosθ
Θ(θ) = BP_ℓ^|m|(x) … B:規格化定数
 
▼ 角運動量演算子の2乗L² 
L² =
-ℏ²[(1/sinθ)(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}+(1/sin²θ)(∂²/∂φ²)]
L²Y = ℏ²ℓ(ℓ+1)Y