クリストッフェル記号 (2回目)

2023/7/10(月)
クリストッフェル記号 (2回目)
 
(Christoffel symbols)
 
発散divV、勾配gradf、ラプラシアンΔ = ∇² = ∇･∇
の極座標表記を求める
 
■ 定義
▼ 表記
以後、ベクトルは太字で表す
ナブラ∇ = (∂/∂x¹,∂/∂x²,∂/∂x³)を
∇_β = (∂/∂x^β)と書く事にする
反辺ベクトル
V = (V¹,V²,V³) = V¹e₁ + V²e₂ + V³e₃ 
= Σ[α=1,2,3]V^αe_α = V^αe_α 
(基底ベクトルe_α)
(上付きはべき乗ではなく添字です)
(アインシュタインの縮約でΣ記号を省略)
 
▼ 反変ベクトルV の共変微分_β∇V 
クリストッフェル記号Γ^γ_αβ を使って
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α と置く
 
■ 導出
▼ 極座標系の発散div、勾配grad、ラプラシアンΔ
正規直交基底ベクトルe'(座標基底eの単位ベクトル)
       |1 0    0           |
g^αβ = |0 1/r² 0           |
       |1 0    1/(r²sin²θ)|
e'_α = √(g^αα)e_α 
 
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html
極座標 (4回目)
より
 
√(g^rr) = 1、√(g^θθ) = 1/r、√(g^φφ) = 1/(rsinθ)、
V^αe'_α = V^α√(g^αα)e_α 
(e_αは単位ベクトルではないので単位ベクトルe'_αに
変換しないと座標成分がおかしな値になるため)
 
Γ^r_γrV^γ = 0、Γ^θ_rθV^r = (1/r)V^r、Γ^φ_rφ = (1/r)V^r 
Γ^φ_θφ = (cosθ/sinθ)V^θ 
(1/r²)(∂/∂r)(r²V^r) = (1/r²){r²(∂V^r/∂r) + 2rV^r}
= (∂V^r/∂r) + (2/r)V^r 
(1/sinθ)(∂/∂θ)(sinθV^θ)
= (1/sinθ){sinθ(∂/∂θ)V^θ + cosθV^θ}
= (∂/∂θ)V^θ + (cosθ/cosθ)V^θ 
を使って
 
divV = ∇･V = (∂/∂x^α)V = (∇_α･e_α)V^α 
= (∇_α･e'_α)V^α√(g^αα) = (∇_α･e'_α)P^α … P^α = V^α√(g^αα)と置く
= {(∂/∂x^α)P^α + Γ^α_γαP^γ}
= (∂P^r/∂r) + Γ^r_γrP^γ + (∂P^θ/∂θ) + Γ^θ_γθP^γ 
+ (∂P^φ/∂φ) + Γ^φ_γφP^γ 
= (∂P^r/∂r) + (∂P^θ/∂θ) + (1/r)P^r 
+ (∂P^φ/∂φ) + (1/r)P^r + (cosθ/sinθ)P^θ 
= (∂P^r/∂r)+(2/r)P^r + (∂P^θ/∂θ) + (cosθ/sinθ)P^θ 
+ (∂P^φ/∂φ)
= (1/r²)(∂/∂r)(r²P^r) + (1/sinθ)(∂/∂θ)(sinθP^θ)
+ (∂P^φ/∂φ)
= (1/r²)(∂/∂r)(r²V^r)
+ {1/(rsinθ)}(∂/∂θ)(sinθV^θ)
+ {1/(rsinθ)}(∂V^φ/∂φ)
 
e'_α = √(g^αα)e_α … 両辺√(g^αα)倍して
√(g^αα)e'_α = g^ααe_α 
fとe_αそれぞれ、基底ベクトルの長さで割る必要が
あるので√(g^αα)を2回掛ける
これらを使って
 
gradf = ∇f = (∂f/∂r, ∂f/∂θ, ∂f/∂φ)
= (∂f/∂r)g^rre_r+(∂f/∂θ)g^θθe_θ+(∂f/∂φ)g^φφe_φ 
= Σ[α=r,θ,φ](∂f/∂x^α)g^ααe_α 
= (∂f/∂x^α)g^ααe_α … (アインシュタインの縮約でΣ省略)
= (∂f/∂x^α)√(g^αα)e'_α 
= (∂f/∂x^α)√(g^αα)e'_α 
= √(g^rr)(∂f/∂r)e'_r + √(g^θθ)(∂f/∂θ)e'_θ 
+ √(g^φφ)(∂f/∂φ)e'_φ 
= (∂f/∂r)e'_r+(1/r)(∂f/∂θ)e'_θ+{1/(rsinθ)}(∂f/∂φ)e'_φ 
 
 
divV =
= (1/r²)(∂/∂r)(r²V^r)
+ {1/(rsinθ)}(∂/∂θ)(sinθV^θ)
+ {1/(rsinθ)}(∂V^φ/∂φ)
gradf =
(∂f/∂r)e'_r+(1/r)(∂f/∂θ)e'_θ+{1/(rsinθ)}(∂f/∂φ)e'_φ 
 
gradf = ∇_αfg^αβe_β = ∇_αfg^ααe_α (g^αβ = 0 if α≠β)
gradf = ∇_αfg^αβe_β = ∇_αf√(g^αβ)e'_β 
= ∇_αf√(g^αα)e'_α 
divV = ∇_αV^α 
gradfのe'_αの係数{∇_αf√(g^αα)}をV^αに代入
∇_αV^α = (∇_α∇_α)(e'_α･e'_α)f√(g^αα)
= (∇_α∇_α)(e_α･e_α)f = ∇･∇f
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂f/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂f/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²f/∂φ²)
= [(1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)]f
 
■ 結果
▼ 定義
正規直交基底ベクトルe'(座標基底eの単位ベクトル)
        |1 0    0           |
g^αβ = |0 1/r² 0           |
        |1 0    1/(r²sin²θ)|
e'_α = √(g^αα)e_α 
ナブラ∇ = (∂/∂x^α)
 
▼ 発散
divV = ∇･V = (∂/∂x^α)V = (∇_α･e_α)V^α 
= (1/r²)(∂/∂r)(r²V^r)
+ {1/(rsinθ)}(∂/∂θ)(sinθV^θ)
+ {1/(rsinθ)}(∂V^φ/∂φ)
 
▼ 勾配
gradf = ∇f = (∂f/∂r, ∂f/∂θ, ∂f/∂φ)
= (∂f/∂r)e'_r+(1/r)(∂f/∂θ)e'_θ+{1/(rsinθ)}(∂f/∂φ)e'_φ 
 
▼ ラプラシアンΔ = ∇² = ∇･∇
Δ = ∇² = ∇･∇
= (1/r²)(∂/∂r){r²(∂/∂r)}
+ {1/(r²sinθ)}(∂/∂θ){sinθ(∂/∂θ)}
+ {1/(r²sin²θ)}(∂²/∂φ²)