曲率テンソル (1回目)

2023/8/1(火)
曲率テンソル (1回目)
 
(Curvature tensor)
 
リーマン･クリストッフェル曲率テンソル
(Riemann-Christoffel curvature tensor) 
または
曲率テンソルRⁿ_m,ik 
などを求める
 
■ 定義
▼ クリストッフェル記号Γ^γ_αβ 
 
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-1.html
クリストッフェル記号 (1回目)
より
 
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α =
Γ^γ_βαe_γ 
 
▼ 曲率テンソル
基底ベクトルの2階共変微分の
1回目と2回目の微分の順番を入れ替えたときの
差の係数をリーマン曲率テンソルとする
Rⁿ_m,αβe_n = ∇_α(∇_βe_m) - ∇_β(∇_αe_m)
= -{∇_β(∇_αe_m) - ∇_α(∇_βe_m)}
= -Rⁿ_m,βαe_n 
 
 
■ 導出
▼ 曲率テンソル
∇_βe_m = (∂/∂x^β)e_m = Γⁿ_mβe_n 
 
∇_α(∇_βe_m) = (∂/∂x^α)(Γⁿ_mβe_n)
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ}e_n +Γⁿ_mβ(∂/∂x^α)e_n 
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ}e_n +Γ^k_mβ(∂/∂x^α)e_k 
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ}e_n +Γ^k_mβΓⁿ_kαe_n 
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ +Γⁿ_kαΓ^k_mβ}e_n 
 
∇_β(∇_αe_m)
= {(∂/∂x^β)Γⁿ_mα +Γⁿ_kβΓ^k_mα}e_n 
 
Rⁿ_m,αβe_n = ∇_α(∇_βe_m) - ∇_β(∇_αe_m)
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ +Γⁿ_kαΓ^k_mβ}e_n 
- {(∂/∂x^β)Γⁿ_mα +Γⁿ_kβΓ^k_mα}e_n 
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_mβ - (∂/∂x^β)Γⁿ_mα 
+ Γⁿ_kαΓ^k_mβ  - Γⁿ_kβΓ^k_mα}e_n 
= {(∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm}e_n 
 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
 
■ 結果
▼ 曲率テンソル
基底ベクトルの2階共変微分の
1回目と2回目の微分の順番を入れ替えたときの
差の係数をリーマン曲率テンソルとする
Rⁿ_m,αβe_n = ∇_α(∇_βe_m) - ∇_β(∇_αe_m) = -Rⁿ_m,βα 
 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
▼ リッチテンソル
曲率テンソルを縮約したもの
R_mβ = R^α_m,αβ 
 
▼ スカラー曲率
g^αβ = diag(1, 1/r², 1/(r²sin²θ))
  |1 0    0           |
= |0 1/r² 0           |
  |1 0    1/(r²sin²θ)|
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/polar-4.html
極座標 (4回目)
 
R = g^mβR_mβ