曲率テンソル (2回目)

2023/8/4(金)
曲率テンソル (2回目)
 
(Curvature tensor)
 
リーマン･クリストッフェル曲率テンソル
(Riemann-Christoffel curvature tensor)
 
球面の
曲率テンソルRⁿ_m,αβ 
リッチテンソルR_mβ 
スカラー曲率R
を求める
 
■ 定義
▼ 曲率テンソル
基底ベクトルの2階共変微分の
1回目と2回目の微分の順番を入れ替えたときの
差の係数をリーマン曲率テンソルとする
Rⁿ_m,αβe_n = ∇_α(∇_βe_m) - ∇_β(∇_αe_m) = -Rⁿ_m,βα 
 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
▼ 極座標系のクリストッフェル記号
 
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-2.html
クリストッフェル記号 (2回目)
より
 
クリストッフェル記号
Γ^γ_αβe_γ = (∂/∂x^β)e_α = ∇_βe_α =
Γ^γ_βαe_γ 
 
Γ^ｒ_θθ = -r
Γ^ｒ_φφ = -rsin²θ
Γ^θ_ｒθ = Γ^θ_θｒ = Γ^φ_ｒφ = Γ^φ_φｒ = 1/r
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
 
▼ 球面のクリストッフェル記号
半径rの球面の変数はθ,φなので
rを固定するとrに関する微分は0になる
よって0以外の成分は次の通り
 
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = cosθ/sinθ
Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
 
 
■ (∂/∂x^α)Γⁿ_βm 
▼ 導出
(∂/∂θ)Γ^θ_φφ = (∂/∂θ)(-sinθcosθ)
= -cosθcosθ + sinθsinθ = -cos²θ+sin²θ
= -(cos²θ-sin²θ)
 
(∂/∂θ)Γ^φ_θφ = (∂/∂θ)Γ^φ_φθ =
(∂/∂θ)(cosθ/sinθ)
= -sinθ/sinθ + cosθ(-cosθ/sin²θ)
= -(sin²θ + cos²θ)/sin²θ
= -1/sin²θ
 
▼ まとめ
(∂/∂θ)Γ^θ_φφ =  sin²θ-cos²θ
(∂/∂θ)Γ^φ_θφ = -1/sin²θ
(∂/∂θ)Γ^φ_φθ = -1/sin²θ
 
■ 微分項Dの計算
D = (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
α⇔β なら -D、α=β なら D = 0 になる
 
▼ n=θ
(∂/∂θ)Γ^θ_φφ =  sin²θ-cos²θ
D = (∂/∂x^α)Γ^θ_βm - (∂/∂x^β)Γ^θ_αm 
α=θ,β=φ,m=φ,D =  sin²θ-cos²θ
 
▼ n=φ
(∂/∂θ)Γ^φ_θφ = -1/sin²θ
(∂/∂θ)Γ^φ_φθ = -1/sin²θ
D = (∂/∂x^α)Γ^φ_βm - (∂/∂x^β)Γ^φ_αm 
α=θ,β=φ,m=θ,D = -1/sin²θ
α=θ,β=θ,m=φ,D = 0
 
▼ D
n=θ,α=θ,β=φ,m=φ,D =  sin²θ-cos²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,D = -1/sin²θ
 
 
■ 通常項Eの計算
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
α⇔β なら -D
α=β なら D = 0 になる
 
▼ n=θ,k=φ
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = cosθ/sinθ
Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
α=φ
E = Γ^θ_φφΓ^φ_βm  - Γ^θ_βφΓ^φ_φm 
β=θ,m=φ,E = -sinθcosθcosθ/sinθ = -cos²θ
 
n=θ,k=φ,α=φ,β=θ,m=φ,E = -cos²θ
 
▼ n=φ,k=θ
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = cosθ/sinθ
Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
α=φ
E = Γ^φ_φθΓ^θ_βm  - Γ^φ_βθΓ^θ_φm 
β=φ,m=φ,E = 0
 
n=φ,k=θ,α=φ,β=φ,m=φ,E = 0
 
▼ n=φ,k=φ
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
Γ^θ_φφ = -sinθcosθ
Γ^φ_θφ = cosθ/sinθ
Γ^φ_φθ = cosθ/sinθ
α=θ
E = Γ^φ_θφΓ^φ_βm  - Γ^φ_βφΓ^φ_θm 
β=θ,m=φ,E = 0
β=φ,m=θ,E = (cosθ/sinθ)(cosθ/sinθ) = cos²θ/sin²θ
 
n=φ,k=φ,α=θ,β=φ,m=θ,E = cos²θ/sin²θ
 
▼ Eのkの縮約(Σ[k=r,θ,φ])
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
n=θ,k=φ,α=φ,β=θ,m=φ,E = -cos²θ
n=φ,k=φ,α=θ,β=φ,m=θ,E = cos²θ/sin²θ
 
n=θ,α=φ,β=θ,m=φ,E = -cos²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,E = cos²θ/sin²θ
 
 
■ 球面の曲率テンソルRⁿ_m,αβ 
▼ D,E
D = (∂/∂x^α)Γⁿ_mβ - (∂/∂x^β)Γⁿ_mα 
n=θ,α=θ,β=φ,m=φ,D =  sin²θ-cos²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,D = -1/sin²θ
 
E = Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
n=θ,α=φ,β=θ,m=φ,E = -cos²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,E = cos²θ/sin²θ
 
▼ K=D+E
Rⁿ_m,αβ 
 
n=θ,α=θ,β=φ,m=φ,D =  sin²θ-cos²θ
n=θ,α=φ,β=θ,m=φ,E = -cos²θ
n=θ,α=θ,β=φ,m=φ,K =  sin²θ-cos²θ+cos²θ
=  sin²θ
 
R^θ_φ,θφ =  sin²θ
R^θ_φ,φθ = -sin²θ
 
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,D = -1/sin²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,E = cos²θ/sin²θ
n=φ,α=θ,β=φ,m=θ,K = -1/sin²θ+cos²θ/sin²θ
=  (cos²θ-1)/sin²θ = -sin²θ/sin²θ = -1
 
R^φ_θ,θφ = -1
R^φ_θ,φθ =  1
 
 
■ リッチテンソルR_mβ の導出
曲率テンソルを縮約したもの
R_mβ = R^α_m,αβ (Σ[α=θ,φ])
 
球面の曲率テンソルRⁿ_m,αβ 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
R^θ_φ,θφ =  sin²θ
R^θ_φ,φθ = -sin²θ
R^φ_θ,θφ = -1
R^φ_θ,φθ =  1
 
R_θθ = R^θ_θ,θθ + R^φ_θ,φθ = 0 + 1
R_θφ = R^θ_θ,θφ + R^φ_θ,φφ = 0 + 0
R_φθ = R^θ_φ,θθ + R^φ_φ,φθ = 0 + 0
R_φφ = R^θ_φ,θφ + R^φ_φ,φφ = sin²θ + 0
より
 
R_θθ = 1
R_φφ = sin²θ
 
 
■ スカラー曲率(リッチスカラー)
g^αβ = diag(1, 1/r², 1/(r²sin²θ))
  |1 0    0           |
= |0 1/r² 0           |
  |1 0    1/(r²sin²θ)|
R_θθ = 1
R_φφ = sin²θ
 
R = g^mβR_mβ 
= g^θθR_θθ + g^φφR_φφ 
= (1/r²)1 + {1/(r²sin²θ)}sin²θ
= 1/r² + 1/r² 
= 2/r² 
 
 
■ 結果
▼ 球面の曲率テンソルRⁿ_m,αβ 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
R^θ_φ,θφ =  sin²θ
R^θ_φ,φθ = -sin²θ
R^φ_θ,θφ = -1
R^φ_θ,φθ =  1
 
▼ リッチテンソル
曲率テンソルを縮約したもの
R_mβ = R^α_m,αβ (Σ[α=θ,φ])
 
R_θθ = 1
R_φφ = sin²θ
 
▼ スカラー曲率(リッチスカラー)
g^αβ = diag(1, 1/r², 1/(r²sin²θ))
  |1 0    0           |
= |0 1/r² 0           |
  |1 0    1/(r²sin²θ)|
R_θθ = 1
R_φφ = sin²θ
 
R = g^mβR_mβ = g^θθR_θθ + g^φφR_φφ 
= 2/r²