曲率テンソル (3回目)

2023/8/5(土)
曲率テンソル (3回目)
 
(Curvature tensor)
 
ビアンキの恒等式の導出
 
■ 定義
▼ 曲率テンソル
[∇_α,∇_β]e_m = Rⁿ_m,αβe_n と定義する
g_knRⁿ_m,αβ = R_km,αβ = -g_knRⁿ_m,βα = -R_km,βα 
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
■ 導出
▼ ビアンキの恒等式
 
Γ^k_ij = g^kaΓ_aij 
= (1/2)g^ka{(∂g_ja/∂Xⁱ)+(∂g_ai/∂X^j)-(∂g_ij/∂X^a)}
導出は
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/07/christoffel-3.html
クリストッフェル記号 (3回目)
 
x':局所慣性系
以後、局所慣性系
クリストッフェル記号 = 0、g_kn = g(_)_kn とする
 
R_km,αβ = g_knRⁿ_m,αβ 
= g_kn{(∂/∂x'^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x'^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αiΓⁱ_βm  - Γⁿ_βiΓⁱ_αm)
= g_kn{(∂/∂x'^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x'^β)Γⁿ_αm }
= (1/2)g_kn 
[(∂/∂x'^α)gⁿⁱ{(∂g_mi/∂x'^β)+(∂g_iβ/∂x'^m)-(∂g_βm/∂x'ⁱ)}
-(∂/∂x'^β)gⁿⁱ{(∂g_mi/∂x'^α)+(∂g_iα/∂x'^m)-(∂g_αm/∂x'ⁱ)}]
= (1/2)g_kngⁿⁱ 
[(∂/∂x'^α){(∂g_iβ/∂x'^m)-(∂g_βm/∂x'ⁱ)}
-(∂/∂x'^β){(∂g_iα/∂x'^m)-(∂g_αm/∂x'ⁱ)}]
= (1/2)δ_kⁱ 
{(∂²g_iβ/∂x'^α∂x'^m)-(∂²g_βm/∂x'^α∂x'ⁱ)
-(∂²g_iα/∂x'^β∂x'^m)+(∂²g_αm/∂x'^β∂x'ⁱ)}
= (1/2){(∂²g_iβ/∂x'^α∂x'^m)-(∂²g_βm/∂x'^α∂x'ⁱ)
-(∂²g_iα/∂x'^β∂x'^m)+(∂²g_αm/∂x'^β∂x'ⁱ)}
 
R_km,αβ = (1/2){(∂²g_iβ/∂x'^α∂x'^m)-(∂²g_βm/∂x'^α∂x'ⁱ)
-(∂²g_iα/∂x'^β∂x'^m)+(∂²g_αm/∂x'^β∂x'ⁱ)}
R_kα,βm = (1/2){(∂²g_im/∂x'^β∂x'^α)-(∂²g_mα/∂x'^β∂x'ⁱ)
-(∂²g_iβ/∂x'^m∂x'^α)+(∂²g_βα/∂x'^m∂x'ⁱ)}
R_kβ,mα = (1/2){(∂²g_iα/∂x'^m∂x'^β)-(∂²g_αβ/∂x'^m∂x'ⁱ)
-(∂²g_im/∂x'^α∂x'^β)+(∂²g_mβ/∂x'^α∂x'ⁱ)}
 
2(R_km,αβ + R_kα,βm + R_kβ,mα)
=(∂²g_iβ/∂x'^α∂x'^m)-(∂²g_βm/∂x'^α∂x'ⁱ)
-(∂²g_iα/∂x'^β∂x'^m)+(∂²g_αm/∂x'^β∂x'ⁱ)
+(∂²g_im/∂x'^β∂x'^α)-(∂²g_mα/∂x'^β∂x'ⁱ)
-(∂²g_iβ/∂x'^m∂x'^α)+(∂²g_βα/∂x'^m∂x'ⁱ)
+(∂²g_iα/∂x'^m∂x'^β)-(∂²g_αβ/∂x'^m∂x'ⁱ)
-(∂²g_im/∂x'^α∂x'^β)+(∂²g_mβ/∂x'^α∂x'ⁱ)
=(∂²g_iβ/∂x'^α∂x'^m)
-(∂²g_iβ/∂x'^m∂x'^α)
-(∂²g_βm/∂x'^α∂x'ⁱ)
+(∂²g_mβ/∂x'^α∂x'ⁱ)
+(∂²g_im/∂x'^β∂x'^α)
-(∂²g_im/∂x'^α∂x'^β)
-(∂²g_iα/∂x'^β∂x'^m)
+(∂²g_iα/∂x'^m∂x'^β)
+(∂²g_αm/∂x'^β∂x'ⁱ)
-(∂²g_mα/∂x'^β∂x'ⁱ)
+(∂²g_βα/∂x'^m∂x'ⁱ)
-(∂²g_αβ/∂x'^m∂x'ⁱ)
= 0
Rⁿ_m,αβ + Rⁿ_α,βm + Rⁿ_β,mα 
= g^nk(R_km,αβ + R_kα,βm + R_kβ,mα) = 0
 
R_km,αβ + R_kα,βm + R_kβ,mα = 0
Rⁿ_m,αβ + Rⁿ_α,βm + Rⁿ_β,mα = 0
 
▼ ビアンキの恒等式(微分形)
Rⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm 
 
x':局所慣性系
以後、局所慣性系
クリストッフェル記号 = 0、g_kn = g(_)_kn とする
∇_k(Γⁿ_αkΓ^k_βm)　= ∇_kΓⁿ_αkΓ^k_βm + Γⁿ_αk∇_kΓ^k_βm = 0
より
∇_k(Γⁿ_αkΓ^k_βm  - Γⁿ_βkΓ^k_αm) = 0
 
∇_γRⁿ_m,αβ 
= (∂/∂x^γ)(∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^γ)(∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
∇_αRⁿ_m,βγ 
= (∂/∂x^α)(∂/∂x^β)Γⁿ_γm - (∂/∂x^α)(∂/∂x^γ)Γⁿ_βm 
∇_βRⁿ_m,γα 
= (∂/∂x^β)(∂/∂x^γ)Γⁿ_αm - (∂/∂x^β)(∂/∂x^α)Γⁿ_γm 
 
∇_γRⁿ_m,αβ + ∇_αRⁿ_m,βγ + ∇_βRⁿ_m,γα 
= (∂/∂x^γ)(∂/∂x^α)Γⁿ_βm - (∂/∂x^γ)(∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ (∂/∂x^α)(∂/∂x^β)Γⁿ_γm - (∂/∂x^α)(∂/∂x^γ)Γⁿ_βm 
+ (∂/∂x^β)(∂/∂x^γ)Γⁿ_αm - (∂/∂x^β)(∂/∂x^α)Γⁿ_γm 
 
= (∂/∂x^γ)(∂/∂x^α)Γⁿ_βm 
- (∂/∂x^α)(∂/∂x^γ)Γⁿ_βm 
- (∂/∂x^γ)(∂/∂x^β)Γⁿ_αm 
+ (∂/∂x^β)(∂/∂x^γ)Γⁿ_αm 
+ (∂/∂x^α)(∂/∂x^β)Γⁿ_γm 
- (∂/∂x^β)(∂/∂x^α)Γⁿ_γm 
= 0
 
g_kn(∇_γRⁿ_m,αβ + ∇_αRⁿ_m,βγ + ∇_βRⁿ_m,γα )
∇_γR_km,αβ + ∇_αR_km,βγ + ∇_βR_km,γα = 0
 
 
■ 結果
▼ ビアンキの恒等式
R_km,αβ + R_kα,βm + R_kβ,mα = 0
Rⁿ_m,αβ + Rⁿ_α,βm + Rⁿ_β,mα = 0
∇_γR_km,αβ + ∇_αR_km,βγ + ∇_βR_km,γα = 0
∇_γRⁿ_m,αβ + ∇_αRⁿ_m,βγ + ∇_βRⁿ_m,γα = 0