シュワルツシルト半径 (4回目)
2023/8/19(土)
シュワルツシルト半径 (4回目)
(Schwarzschild radius)
シュワルツシルト半径rgの考察
■ シュワルツシルト半径rgの考察
▼ dsからrgを考える
ds2 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2
rg = 2GM/c2
(1-rg/r) → +0, 1/(1-rg/r) → +∞ (r → +rg)
となっている
rが中心に向かってrgに近づくと時間が遅れ
動径方向の距離が伸びる
r ≦ rg では∞や負になり意味が分からなくなるので
この式からrg が何を意味するのか良く分からない
▼ dsの式変形からrgを考える
dθ = 0, dφ = 0, ds = 0と置くと
cdtとdrの関係式が出来る
ds2 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2
0 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2
1/(1-rg/r)dr2 = (1-rg/r)(cdt)2
dr2/dt2 = c2(1-rg/r)2
dr/dt = ±c(1-rg/r)
光は距離rで通過するときr > rgなら離れていくはず
なのでdr/dt > 0となり
dr/dt = c(1-rg/r)
dr/dt > 0 (if r > rg)
dr/dt = 0 (if r = rg)
dr/dt < 0 (if r < rg)
rは重力源の中心からの距離だったので
光がr = rgの場所を通過するときrは時間とともに
変化しない事になり
シュワルツシルト半径
rg = 2GM/c2
は光が円運動する半径という事になる
■ ニュートン力学との比較
▼ ニュートン力学(力)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/03/centrifugal-1.html
遠心力 (1回目)
より
遠心力f = mv2/r
重力F = -GMm/r2
f + F = 0の時半径rの円周上を等速円運動する事になる
よって
mv2/r - GMm/r2 = 0
rv2 - GM = 0
r = GM/v2 = rF と置く
▼ ニュートン力学(ポテンシャルエネルギー)
ポテンシャルエネルギー
V = -∫Fdr = GMm∫(1/r2)dr = -GMm/r
運動エネルギー
K = (1/2)mv2
K + V = 0の時、無限遠で速度を失う
つまり、天体の重力圏から脱出できる
最小半径がrを求めて
(1/2)mv2 - GMm/r = 0
rv2 - 2GM = 0
r = 2GM/v2 = rV と置く
▼ それぞれの半径
rg = 2GM/c2 … 光が円運動する半径
rF = GM/v2 … 速度vの物体が円運動する半径
rV = 2GM/v2 … 速度vの物体が重力圏から脱出できる半径
rF < r < rVの時は
半径rの円周上から抜け出せるが無限遠にはいけない
(rF = GM/v2 は第1宇宙速度の式の変形)
(rV = 2GM/v2 は第2宇宙速度の式の変形)
つまり
rg = 2GM/c2
は
rF = GM/v2
と同じで
rV = 2GM/v2 とは意味が異なる
円運動する半径rは
|v| << |c|の時はr = rF = GM/v2
|v| ≒ |c|の時はr = rg = 2GM/c2
これは
ニュートン力学ではシュワルツシルト半径程度の
強い重力下で速度が光速付近(|v| ≒ |c|)では
(値1 – 値2)/値1に代入して
(2GM/c2 - GM/v2)/(2GM/c2)
= (2GM/c2 - GM/c2)/(2GM/c2)
= (2 – 1) / 2
= 0.5
になる
ニュートン力学の式の値は
重力場方程式の値に対して
50%の差異があるということです
■ 結果
▼ シュワルツシルト半径
rg = 2GM/c2 … 光が円運動する半径
▼ ニュートン力学の半径
rF = GM/v2 … 速度vの物体が円運動する半径
rV = 2GM/v2 … 速度vの物体が重力圏から脱出できる半径
rF < r < rVの時は
半径rの円周上から抜け出せるが無限遠にはいけない
(rF = GM/v2 は第1宇宙速度の式の変形)
(rV = 2GM/v2 は第2宇宙速度の式の変形)
(2GM/c2 - GM/c2)/(2GM/c2) = 1/2 = 0.5
ニュートン力学では
シュワルツシルト半径程度の強い重力と光速付近の元では
一般相対性理論の結果に対して50%程度の差がでる
シュワルツシルト半径 (4回目)
(Schwarzschild radius)
シュワルツシルト半径rgの考察
■ シュワルツシルト半径rgの考察
▼ dsからrgを考える
ds2 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2
rg = 2GM/c2
(1-rg/r) → +0, 1/(1-rg/r) → +∞ (r → +rg)
となっている
rが中心に向かってrgに近づくと時間が遅れ
動径方向の距離が伸びる
r ≦ rg では∞や負になり意味が分からなくなるので
この式からrg が何を意味するのか良く分からない
▼ dsの式変形からrgを考える
dθ = 0, dφ = 0, ds = 0と置くと
cdtとdrの関係式が出来る
ds2 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2 + r2dθ2 + r2sin2θdφ2
0 = -(1-rg/r)(cdt)2 + 1/(1-rg/r)dr2
1/(1-rg/r)dr2 = (1-rg/r)(cdt)2
dr2/dt2 = c2(1-rg/r)2
dr/dt = ±c(1-rg/r)
光は距離rで通過するときr > rgなら離れていくはず
なのでdr/dt > 0となり
dr/dt = c(1-rg/r)
dr/dt > 0 (if r > rg)
dr/dt = 0 (if r = rg)
dr/dt < 0 (if r < rg)
rは重力源の中心からの距離だったので
光がr = rgの場所を通過するときrは時間とともに
変化しない事になり
シュワルツシルト半径
rg = 2GM/c2
は光が円運動する半径という事になる
■ ニュートン力学との比較
▼ ニュートン力学(力)
https://ulprojectmail.blogspot.com/2023/03/centrifugal-1.html
遠心力 (1回目)
より
遠心力f = mv2/r
重力F = -GMm/r2
f + F = 0の時半径rの円周上を等速円運動する事になる
よって
mv2/r - GMm/r2 = 0
rv2 - GM = 0
r = GM/v2 = rF と置く
▼ ニュートン力学(ポテンシャルエネルギー)
ポテンシャルエネルギー
V = -∫Fdr = GMm∫(1/r2)dr = -GMm/r
運動エネルギー
K = (1/2)mv2
K + V = 0の時、無限遠で速度を失う
つまり、天体の重力圏から脱出できる
最小半径がrを求めて
(1/2)mv2 - GMm/r = 0
rv2 - 2GM = 0
r = 2GM/v2 = rV と置く
▼ それぞれの半径
rg = 2GM/c2 … 光が円運動する半径
rF = GM/v2 … 速度vの物体が円運動する半径
rV = 2GM/v2 … 速度vの物体が重力圏から脱出できる半径
rF < r < rVの時は
半径rの円周上から抜け出せるが無限遠にはいけない
(rF = GM/v2 は第1宇宙速度の式の変形)
(rV = 2GM/v2 は第2宇宙速度の式の変形)
つまり
rg = 2GM/c2
は
rF = GM/v2
と同じで
rV = 2GM/v2 とは意味が異なる
円運動する半径rは
|v| << |c|の時はr = rF = GM/v2
|v| ≒ |c|の時はr = rg = 2GM/c2
これは
ニュートン力学ではシュワルツシルト半径程度の
強い重力下で速度が光速付近(|v| ≒ |c|)では
(値1 – 値2)/値1に代入して
(2GM/c2 - GM/v2)/(2GM/c2)
= (2GM/c2 - GM/c2)/(2GM/c2)
= (2 – 1) / 2
= 0.5
になる
ニュートン力学の式の値は
重力場方程式の値に対して
50%の差異があるということです
■ 結果
▼ シュワルツシルト半径
rg = 2GM/c2 … 光が円運動する半径
▼ ニュートン力学の半径
rF = GM/v2 … 速度vの物体が円運動する半径
rV = 2GM/v2 … 速度vの物体が重力圏から脱出できる半径
rF < r < rVの時は
半径rの円周上から抜け出せるが無限遠にはいけない
(rF = GM/v2 は第1宇宙速度の式の変形)
(rV = 2GM/v2 は第2宇宙速度の式の変形)
(2GM/c2 - GM/c2)/(2GM/c2) = 1/2 = 0.5
ニュートン力学では
シュワルツシルト半径程度の強い重力と光速付近の元では
一般相対性理論の結果に対して50%程度の差がでる
