N88-BASICで懸垂線 (4回目)

2024/7/30(火)
N88-BASICで懸垂線 (4回目)
 
(catenary)
懸垂線(カテナリー、紐を垂らしたときの曲線)
両端が同じ高さで紐の左端が原点
 
■ 前提
▼ 参照
https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/07/catenary-4.html
懸垂線 (4回目)
より
 
▼ 定義(左端が原点)
g:重力加速度(m/s²)
ρ:紐の密度(kg/m)
H:水平張力(N)
y(x):懸垂線(カテナリー)
y'(x):懸垂線の傾き
L:紐の長さ(m)
x₁:紐の右端のx座標
 
▼ 懸垂線f(x)など
λ = ρg/H, H = T(x)cosθ(x) = const.
y(x) = (1/λ){cosh(λx-λx₁/2) - cosh(λx₁/2)}
y'(x) = sinh(λx-λx₁/2)
L = (2/λ)sinh(λx₁/2)
 
▼ Hの近似式
H ≒ √[(ρg)²x₁³/{24(L - x₁)}] if |x₁/L| >> 0
H ≒ 0                        if |x₁/L| << 1
 
▼ ニュートン法
α = ρgd/(2H) と置く
f(H) = sinh(α) - αL/x₁ 
f'(H) = {α/(Hx₁)}{L - x₁cosh(α)}
 
f(0) = ∞ , f'(0) = ∞
f(∞) < 0  , f'(∞) = 0
 
H₀ = 適当に決めて
H_n ＞ 0
ΔH = f(H_n)/f'(H_n)
H_n+1 = H_n - ΔH
H = H_n+1 (if |ΔH| < ε)
 
 
■ 解説
近似式を初期値としてニュートン法によりHを求め
紐を垂らした時の曲線f(x)を描画しました
 
 
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