終端速度 (2回目)

2024/6/21(水)
終端速度 (2回目)
 
(Terminal velocity)
 
速度に比例する空気抵抗のある投げ下げ
 
■ 導出
▼ 定義
g:重力加速度(m/s²)
v₀:初速度(m/s)
v:速度(m/s)
k:空気抵抗の比例定数(N･s/m) … 1m/s毎の力(N)
m:質量(kg)
F:力(N)
a:加速度(m/s²)
y:位置(m)
 
▼ 式
https://ulprojectmail.blogspot.com/2024/08/n88-basicterminal-1.html
終端速度 (1回目)
より
 
v_∞ = -mg/k, λ = k/m
a(t) = -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
v(t) = v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
y(t) = y₀ + (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
 
下向きを正とするので
g → -g, y₀ → 0 に置き換える
 
v_∞ = mg/k, λ = k/m
a(t) = -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
v(t) = v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
y(t) = (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
 
 
■ 結果
▼ 定数
v_∞ = mg/k, λ = k/m
 
▼ 加速度
a(t) = -(v₀ - v_∞)λexp(-λt)
a(0) = -(v₀ - v_∞)λ = -(k/m)v₀ + g
a(t) = 0  (t→∞)
 
▼ 速度
v(t) = v₀exp(-λt) + v_∞{1 - exp(-λt)}
v(0) = v₀ 
v(t) = v_∞  (t→∞)
 
▼ 位置
y(t) = (v₀ - v_∞)(1/λ){1 - exp(-λt)} + v_∞t
y(0) = 0
y(t) = (v₀ - v_∞)(1/λ) + v_∞t  (t→∞)