電磁気学(簡易版) (1回目)
2026/7/18(土)
電磁気学(簡易版) (1回目)
■ 静電場
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) , ラプラシアン∇･∇ = ∇2 = Δ
gradφ = ∇f , divE = ∇･E , rotE = ∇×E
dS = ndS(n:面Sの法線ベクトル), S = ∂V(体積Vの表面積), s = ∂S(Sの周長)
ε0:真空中の誘電率 , クーロン定数k = 1/(4πε0)
ρ :電荷密度[C/m3](∫VρdV = Q:電荷) k :クーロン定数[N･m2/C2] φ :静電ポテンシャル(電位差[V]) E :電場[N/C][V/m] (E = |E|) r :原点からの距離[m](r = |r|) F :Qがqに及ぼす力(同符号斥力)[N] Q :電場をつくる電荷[C] q :電場中の電荷[C]
| ρ :質量密度[kg/m3](∫VρdV = M:質量) G :重力定数[N･m2/kg2] φ :重力ポテンシャル[J/kg] g :重力場[N/kg] (g = -|g|) r :原点からの距離[m](r = |r|) F :Mがmに及ぼす力(引力)[N] M :重力場をつくる質量[kg] m :重力場の質量[kg]
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▼ 静電場の法則
1. 電場Eとポテンシャルφの関係 F = qE = k(Qq/r2)(r/r) E = -gradφ
| 1. 重力場gとポテンシャルφの関係 F = mg = -G(Mm/r2)(r/r) g = -gradφ
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2. ガウスの法則 divE = 4πkρ = ρ/ε0
| 2. div g div g = -4πGρ
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3. ポアソン方程式 ∇2φ = -4πkρ = -ρ/ε0
| 3. ポアソン方程式 ∇2φ = 4πGρ
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4. 渦なしの法則の導出 rotE = 0 … (渦なしの法則)
| 4. rot g = 0 の導出 rot g = 0
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▼ 静電場の法則の導出
1. 電場Eとポテンシャルφの関係 F = qE = k(Qq/r2)(r/r) E = k(Q/r2)(r/r) , E = kQ/r2 より φ = -∫E･dr = -∫E dr = -kQ∫r-2 dr = kQ/r よって φ = kQ/r = {1/(4πε0)}(Q/r)
φ = -∫E･dr の微分形式 E = -gradφ
| 1. 重力場gとポテンシャルφの関係 F = mg = -G(Mm/r2)(r/r) g = -G(Mm/r2)(r/r) , g = -GM/r2 より φ = -∫g･dr = -∫g dr = GM∫r-2 dr = -GM/r よって φ = -GM/r
φ = -∫g･dr の微分形式 g = -gradφ
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2. ガウスの法則の導出 ガウスの発散定理
| 2. div gの導出 ガウスの発散定理
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V内から外への電気力線 4本と表面Sを貫く 電気力線4本は同じ数 ∫∂V E･dS =∫V divE dV (体積Vの表面Sを通り外へ湧出す量と 体積V内から外へ湧出す量は同じ)と Eに垂直な面への換算面積S = 4πr2 より
∫∂V E･dS = ES = 4πr2kQ/r2 = 4πkQ = 4πk∫V ρ dV = ∫V divE dV
つまり ∫V divE dV = 4πk∫V ρ dV よって
divE = 4πkρ = ρ/ε0
| V外から内への ベクトル量と表面Sを 貫くベクトル量は同じ量 ∫∂V g･dS =∫V div g dV (体積Vの表面Sを通り内へ入る量と 体積V外から内へ入る量は同じ)と gに垂直な面への換算面積S = 4πr2 より
∫∂V g･dS = gS = -4πr2GM/r2 = -4πGM = -4πG∫V ρ dV = ∫V div g dV
つまり ∫V div g dV = -4πG∫V ρ dV よって
div g = -4πGρ
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E は1点から湧き出すまたは1点に戻る(等速円運動の加速度ベクトルなど)
divE = ρ/ε0 … ガウスの法則(湧出しの法則)
これを両辺積分して ∫V divE dV = ∫V ρ/ε0 dV
左辺 = ∫V divE dV = ∫∂V E･dS = ES
右辺 = ∫V ρ/ε0 dV = Q/ε0 = 4πkQ
ES = 4πkQ = Q/ε0 … 電気力線の数
E = Q/(ε0 S)
3. ポアソン方程式の導出 E = -gradφ , divE = 4πkρ より divE = ∇･E = -∇･∇φ = -∇2φ = 4πkρ よって
∇2φ = -4πkρ = -ρ/ε0
| 3. ポアソン方程式の導出 g = -gradφ , div g = -4πGρ より div g = ∇･g = -∇･∇φ = -∇2φ = -4πGρ よって
∇2φ = 4πGρ
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4. 渦なしの法則の導出 ∫∂S E･dsは面積Sの1周分の積分
Fは保存力なので q∫∂S E･ds = ∫∂S F･ds = 0 より ∫∂S E･ds = 0
ストークスの定理 | 4. rot g = 0 の導出 ∫∂S g･dsは面積Sの1周分の積分
Fは保存力なので q∫∂S g･ds = ∫∂S F･ds = 0 より ∫∂S g･ds = 0
ストークスの定理
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微小Sの渦4個の合は 内部は互いに逆で±0で Sの外枠sと同じ長さ
∫∂S E･ds = ∫S rotE･dS Eに垂直な成分の一周sの長さ (Sの境界線の長さ)は Eに垂直な周りのdSの周囲の長さを すべて足したものに等しい (Sの内部のとなり合うdSの周囲は 接触部分で方向が逆で打ち消し合い Sの周囲のみ残る) より
∫∂S E･ds = ∫S rotE･dS = 0なので
rotE = 0 … (渦なしの法則)
| 微小Sの渦4個の合計は 内部は互いに逆で±0で Sの外枠sと同じ長さ ∫∂S g･ds = ∫S rot g･dS gに垂直な成分の一周sの長さ (Sの境界線の長さ)は gに垂直な周りのdSの周囲の長さを すべて足したものに等しい (Sの内部のとなり合うdSの周囲は 接触部分で方向が逆で打ち消し合い Sの周囲のみ残る) より
∫∂S g･ds = ∫S rot g･dS = 0なので
rot g = 0
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rotE = 0 の意味
E は回転軸がない、出発点に戻らない、一周しない
(等速円運動の加速度ベクトルなど)
等速円運動の速度ベクトルのrotは
回転軸ベクトルになる
