電磁気学(簡易版) (2回目)

2026/8/15(土)
 
電磁気学(簡易版) (2回目)
 
■ 静電場
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) , ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
gradφ = ∇f , divE = ∇･E , rotE = ∇×E 
dS = ndS(n:面Sの法線ベクトル), S = ∂V(体積Vの表面積), s = ∂S(Sの周長)
 
ρ :電荷密度[C/m³](∫_V ρ dV = Q:電荷[C])
ε₀:真空中の誘電率[F/m](ε:誘電率)
φ :静電ポテンシャル[V] = [J/C]
E  :電場[N/C]
D  :電束密度[C/m²](∫_S D･dS = Q:電荷[C])
r  :原点からの距離[m]
B  :磁束密度[T] = [Wb/m²] = [Vs/m²] = [N/(A･m)](∫_s B･ds = μ₀I)
Φ :磁束[Wb](∫_S B･dS = Φ)
H  :磁場[A/m] = [N/Wb]
j  :電流密度[A/m²](∫_S j･dS = I:電流[A])
μ₀:真空中の透磁率[N/A²](μ:透磁率)
q  :電荷[C]
v  :電荷qの速度[m/s]
 
通常文字 = |太字|
[F] = [C/V] = [s²/J]
[C] = [A･s]
[A] = [C/s]
[V] = [W/A] = [JA/s] = [JC/s²]
[Wb] = [Nm/A] = [Nms/C] = [Js/C]
 
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
 
 
▼ 電束密度D 
∫_S D･dS = Q = ∫_V ρ dV と
ガウスの発散定理　∫_S D･dS = ∫_V divD dV より
∫_V divD dV = ∫_V ρ dV なので
divD = ρ
 
ε₀E = D - P  … (P:誘電分極)
D ≒ εE  (if P ≒ λE)  … (ε≒ε₀+λ:誘電率)
Pは物質内部で電場が弱くなる補正
 
▼ アンペールの法則
I:電流(A)
r:電流からの距離(m)
H = 1/(2πr) , 2πrH = I
∫_S j･dS = I
∫_∂S H･ds = 2πrH  … (H･dsの一周は円になるため) よって
∫_∂S H･ds = ∫_S j･dS と
ストークスの定理 ∫_∂S H･ds = ∫_S rotH･dS より
∫_∂S H･ds = ∫_S rotH･dS = ∫_S j･dS 
rotH = j 
 
 
▼ 磁束密度B 
∫_∂S B･ds = μ₀I = ∫_S μ₀j･dS と
ストークスの定理 ∫_∂S B･ds = ∫_S rotB･dS より
∫_S rotB･dS = ∫_S μ₀j･dS 
rotB = μ₀j 
 
Bは1周回って閉じているので発散が0(湧出しはない)
divB = 0
 
B = μ₀H + χ_mM  … (M:磁化)
B ≒ μH (if χ_mM ≒ χ_mH) … (μ≒μ₀+χ_m:透磁率)
 
H  … (コイルに)流した電流によって生じる磁場
M  … 物質内部(鉄芯など)に生じる磁場
 
 
▼ ローレンツ力
F = {μ₀/(2π)}(I'I/r)s = IBs  … s:長さ
フレミングの左手の法則より
dF = Ids×B  … (アンペールの力)
1m当たりn個の電荷qが速度vで移動している時
I = nqv
単位長さ当たりの個数nと微小長さdsの積は個数なのでN個と置き
方向はvで表すと
dF = Ids×B = nqvds×B = qNv×B 
dsの中にあるN個の電荷が受ける力がdFなので1個の電荷が受ける力は
F = qv×B  … (ローレンツ力) または F = qE + qv×B