電磁気学(簡易版) (3回目)

2026/8/29(土)
 
電磁気学(簡易版) (3回目)
 
■ 静電場
▼ 定義
ナブラ∇ = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) , ラプラシアン∇･∇ = ∇² = Δ
gradφ = ∇f , divE = ∇･E , rotE = ∇×E 
dS = ndS(n:面Sの法線ベクトル), S = ∂V(体積Vの表面積), s = ∂S(Sの周長)
 
ρ :電荷密度[C/m³](∫_V ρ dV = Q:電荷[C])
ε₀:真空中の誘電率[F/m](ε:誘電率)
φ :静電ポテンシャル[V] = [J/C]
E  :電場[N/C]
D  :電束密度[C/m²](∫_S D･dS = Q:電荷[C])
r  :原点からの距離[m]
B  :磁束密度[T] = [Wb/m²] = [Vs/m²] = [N/(A･m)](∫_s B･ds = μ₀I)
Φ :磁束[Wb](∫_S B･dS = Φ)
H  :磁場[A/m] = [N/Wb]
j  :電流密度[A/m²](∫_S j･dS = I:電流[A])
μ₀:真空中の透磁率[N/A²](μ:透磁率)
q  :電荷[C]
v  :電荷qの速度[m/s]
 
 
▼ 前回の法則
divE = ρ/ε₀ … (ガウスの法則)
divD = ρ     … (ガウスの法則)
rotE = 0      … (渦なしの法則)
divB = 0      … (湧出しなし)
H = I/(2πr)  … (アンペールの法則)
rotH = j      … (アンペールの法則)
rotB = μ₀j   … (アンペールの法則)
F = qv×B     … (ローレンツ力)
 
 
▼ レンツの法則(磁力線の数の変化で電流が生じる)
φ:起電力(V)
Φ:磁束(Wb)
 
qE = F = qv×B より
E = v×B 
この式を
電場中の1巻きの長さsのコイルの
微小長さをdsとして積分すると
∫_s E･ds  = ∫_s (v×B)･ds 
またφは静電ポテンシャルなので電場を積分して
φ = ∫_s E･ds 
より
φ = ∫_s (v×B)･ds 
また磁束密度Bが面積Sを貫く磁束は
Φ = ∫_S B･dS 
 
固定されたコイルを貫く磁力線の数が変化する事を
変化しない磁力線中をコイルが移動する事で
磁力線の数が変化すると考えると
 
時間dtにコイルの微小部分dsが移動した距離はvdtで
vdt×ds はdsがvdtだけズレた部分の面積で
方向はこの面の法線となっている
 
B･(vdt×ds)はこの面を貫く磁力線の数になる
ここでvを上,dsを右とすると(vdt×ds)は奥になる
のでBは奥とする
(磁力線の変化を防ぐ方向に電流が流れるのでBが奥なら
右手の法則に逆らって電流は右つまりds方向に流れる)
 
(B×v)は右になるのでdsの方向と一致するので
符号に注意して
B･(vdt×ds) = B･(v×ds)dt = dt(B×v)･ds = -dt(v×B)･ds 
 
微小時間での磁束の変化の総数は
dΦ = ∫_s -dt(v×B)･ds = -dt∫_s (v×B)･ds 
dΦ/dt = -∫_s (v×B)･ds = -∫_s E･ds = -φ これに
Φ = ∫_S B･dS , φ = ∫_s E･ds 
を代入すると
∫_s E･ds = -(d/dt)∫_S B･dS 
 
ストークスの定理より
∫_∂S E･ds = ∫_S rotE･dS = -(d/dt)∫_S B･dS = -∫_S (∂B/∂t)･dS 
より
rotE = -∂B/∂t
rotE +∂B/∂t = 0  … ファラデーの誘導法則
 
 
▼ アンペール･マクスウェルの法則
divD = ρ
電流は電荷密度が増える方から減る方向に湧出すので
divj = -∂ρ/∂t = -∂divD/∂t = -div∂D/∂t より
j = -∂D/∂t  … (電束電流:電束密度が変化する場合)
rotH = j      … (磁場が生じている場合)
よって合計すると
rotH -∂D/∂t  = j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
 
4. マクスウェルの方程式の基本4式
divE = ρ/ε₀       … (ガウスの法則)
divD = ρ             … (ガウスの法則)
rotE = 0               … (渦なしの法則)
divB = 0            … (湧出しなし)
rotH = j            … (アンペールの法則)
rotB = μ₀j         … (アンペールの法則)
rotE + ∂B/∂t = 0  … (ファラデーの誘導法則)
rotH - ∂D/∂t = j  … (アンペール･マクスウェルの法則)
の式を
D = ε₀E 
H = B/μ₀
で置き換えて減らす
rotH - ∂D/∂t = j            … (アンペール･マクスウェルの法則)
(1/μ₀)rotB - ε₀∂E/∂t = j 
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t = μ₀j    … (アンペール･マクスウェルの法則)
 
よって
rotE + ∂B/∂t = 0            … (ファラデーの誘導法則)
rotB - ε₀μ₀∂E/∂t  = μ₀j   … (アンペール･マクスウェルの法則)
divE = ρ/ε₀                 … (ガウスの法則)
divB = 0                                … (湧出しなし)
 
 
▼ 特殊相対性理論的電磁気学
A:ベクトルポテンシャル
c:真空中の光速度[m/s]( c = 1/√(ε₀μ₀) )
F^μν:電磁場テンソル
j:四元電流密度
 
E = -gradφ - ∂A/∂t
B = rotA 
j^μ = (j⁰, j¹, j², j³) = (cρ, j)
F^μν =
|0      Ex/c  Ey/c  Ez/c|
|-Ex/c   0     Bz   -By |
|-Ey/c  -Bz    0     Bx |
|-Ez/c   By   -Bx    0  |
 
電磁気基本法則
∂_ν(∂^μA^ν - ∂^νA^μ) = μ₀j^μ 
 
または
 
∂_νF^μν = μ₀j^μ 
∂_μF_νλ + ∂_νF_λμ + ∂_λF_μν = 0